12、考克斯特群的几何表示研究

考克斯特群的几何表示研究

1. 命题证明

首先来看一个重要的证明，即证明条件 ((Pn + 1) 和 (Qn)) 能推出 (Qn + 1)。设 (w \in W)，且 (l(w) = n + 1)，(s, s’ \in S) 且 (s \neq s’)。若 (w(C)) 包含于 (A_s \cap A_{s’})，那么当 (u = 1) 时条件 (Qn + 1) 满足。若不满足，假设 (w(C)) 不包含于 (A_s)，根据 (Pn + 1)，有 (w(C) \subseteq s(A_s)) 且 (l(sw) = n)。再依据 (Qn)，对于 (sw) 存在 (v \in W_{s,s’}) 使得 (sw(C) \subseteq v(A_s \cap A_{s’})) 且 (l(sw) = l(v) + l(v^{-1}sw))。进而可得 (w(C) \subseteq sv(A_s \cap A_{s’})) 且 (l(w) = 1 + l(sw) = 1 + l(v) + l(v^{-1}sw) \geq l(sv) + l((sv)^{-1}w) \geq l(w))，所以上述不等式都取等号，这表明当 (u = sv) 时 (Qn + 1) 满足。

对于另一个定理的证明，设 (w \in W) 且 (w \neq 1)，可将 (w) 写成 (sw’) 的形式，其中 (s \in S) 且 (l(w’) = l(w) - 1)。由 (Pn) 应用到 (w’) 和 (n = l(w’))，可知 (w’(C) \subseteq A_s)，因为 (w’(C) \subseteq s(A_s)) 这种情况会使 (l(sw’) = l(w) = l(w’) + 1) 而被排除。所以 (w(C) =