10、反射生成群相关理论解读

反射生成群相关理论解读

1. 基础引理与定理

在向量空间的研究中，有一些基础的引理和定理起着关键作用。
- 引理 6 ：设((e_1, \cdots, e_n))是(T)的一组基，且当(i \neq j)时，((e_i|e_j) \leq 0)。
- 若(x = \sum_{i} c_ie_i \in T)，且对于所有(i)有((x|e_i) \geq 0)，那么(c_i \geq 0)对所有(i)成立。
- 若(x)和(y)是(T)中的两个元素，且对于所有(i)有((x|e_i) \geq 0)和((y|e_i) \geq 0)，则((x|y) \geq 0)。若对于所有(i)有((x|e_i) > 0)和((y|e_i) > 0)，则((x|y) > 0)。
- 引理 7 ：设(A)是(T)中的一组单位向量集。如果存在实数(\lambda < 1)，使得对于(a, a’ \in A)且(a \neq a’)，有((a|a’) \leq \lambda)，那么集合(A)是有限的。

2. 有限性定理

• 定理 3 ：
  • 腔的壁的集合是有限的。这一结论可由命题 3(iii)和引理 7 直接得出。
  • 属于(\mathfrak{H})的超平面的方向集合是有限的。证明过程如下：设(C)是一个腔，(\mathfrak{M})是其壁的集合。(C)相对于(\mathfrak{H})的面与相对于(\mathfrak{M})的面相同。由于(\mathfr