线性代数入门教程

理解向量、矩阵和张量运算，掌握现代科技背后的核心数学语言

线性代数是数学中研究向量、向量空间、线性变换和线性方程组的分支，它构成了现代科技世界的数学基础。从搜索引擎算法到计算机图形渲染，从量子力学到深度学习，线性代数无处不在。当我们使用社交媒体、进行在线购物或享受电影特效时，背后都有线性代数的力量在支撑。

本文将介绍线性代数的核心概念，并通过Python代码展示其实际应用。我们使用NumPy库，它是Python科学计算的基础工具。

import numpy as np  # 导入NumPy库

1. 基础构建块：标量、向量、矩阵与张量

1.1 标量（Scalars） - 零维数据

标量是单个数值，是最基本的数学对象。在编程中表示为0维张量。

# 创建标量
x = np.array(3.0)
y = np.array(2.0)

# 基本运算
print(f"加法: {
     
     x + y}")
print(f"乘法: {
     
     x * y}")
print(f"除法: {
     
     x / y}")
print(f"幂运算: {
     
     x ** y}")

1.2 向量（Vectors） - 一维数据

向量是有序的数字列表，表示方向和大小的量。在数据科学中，一个向量可以表示一个数据样本的所有特征。

# 创建向量
temperature = np.array([22.5, 23.0, 24.5, 21.8, 20.5])  # 每日温度数据
sales = np.array([120, 135, 140, 125, 110])  # 每日销售额

# 向量运算
print("\n温度向量:", temperature)
print("平均温度:", np.mean(temperature))
print("温度范围:", np.max(temperature) - np.min(temperature))
print("点积（温度与销售额相关性）:", np.dot(temperature, sales))

1.3 矩阵（Matrices） - 二维数据

矩阵是二维数字数组，可视为多个向量的集合。在机器学习中，数据集通常表示为矩阵。

# 创建用户-物品评分矩阵
# 行：用户，列：物品
ratings = np.array([
    [5, 3, 0, 1],  # 用户1
    [4, 0, 0, 1],  # 用户2
    [1, 1, 0, 5],  # 用户3
    [1, 0, 0, 4],  # 用户4
    [0, 1, 5, 4]   # 用户5
])

print("\n用户-物品评分矩阵:")
print(ratings)
print("矩阵形状（用户数, 物品数）:", ratings.shape)
print("每件物品的平均评分:", np.mean(ratings, axis=0))

1.4 张量（Tensors） - 多维数据

张量是线性代数的通用数据结构，标量是0阶张量，向量是1阶，矩阵是2阶。图像、视频等复杂数据需要更高阶的张量表示。

# 创建3阶张量（时间序列数据）