7、矩阵的逆与行列式：深入解析与应用

矩阵的逆与行列式：深入解析与应用

1. 矩阵的逆

1.1 2×2矩阵的逆

考虑两个矩阵：
[
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \
2 & 4
\end{bmatrix}
]
和
[
B =
\begin{bmatrix}
1 & 3 \
2 & 4
\end{bmatrix}
]

对于矩阵 (A)：
- 由于 (A) 的行（和列）成比例，所以 (rk(A) = 1)。假设存在矩阵 (C) 使得 (AC = I)，即
[
\begin{bmatrix}
1 & 2 \
2 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b \
c & d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
\end{bmatrix}
]
这会得到方程组：
[
\begin{cases}
a + 2c = 1 \
b + 2d = 0 \
2a + 4c = 0 \
2b + 4d = 1
\end{cases}
]
显然该方程组无解，所以 (A) 没有逆矩阵。

对于矩阵 (B)：
- 因为 (B) 的行不成比