概率论与数理统计——概率的公理化定义与定理

最新推荐文章于 2025-05-09 16:36:53 发布

kinoshirosa

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分类专栏：概率论与数理统计笔记自用文章标签：概率论笔记

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概率的公理化

概率的公理化来源于频率的性质，在此不做详细讲解，仅罗列如下：

设试验E的样本空间 $eq?%5COmega$ ，事件域为 $eq?%5Cboldsymbol%7B%5Cmathfrak%7BT%7D%7D$ ，P为定义在事件域 $eq?%5Cboldsymbol%7B%5Cmathfrak%7BT%7D%7D$ 上的一维实函数

$eq?P%3A%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathfrak%7BT%7D%7D%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B1%7D%3B%20A%5Crightarrow%20P%28A%29$

该一维实函数满足下述条件：

非负性： $P(A) \geq 0$

规范性：对必然事件 $\Omega_{0}$ ,有 $P(A)\leq 1$

可列可加性：若 $A_{1}, A_{2},\cdots,A_{n}$ 互不相容，

$P(\cup_{k = 1}^{\inf}A_{k})=\Sigma_{k = 1}^{\inf}P(A_{k})$

【练】证明： $P(\phi )=0$

【证明】令 $A_{n}=\phi(n=1,2,\cdots)$ 则 $\bigcup _{n=1}^{\inf}A_{n}=\phi$

$A_{i}A_{j}=\phi\cap\phi=\phi,i\neq j,i,j=1,2,\cdots$
由可列可加性： $P(\phi)=P(\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty}P(A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}P(\phi)$
$\therefore P(\phi)=0$

逆事件的概率： $P(\bar{A})=1-P(A)$

加法公式： $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

全错排列问题

【例】有n封信件与信封，现将信件随机装入信封，求信封中完全没有正确信件的概率

【解】

设： $A_{0}=$ ｛没有一封信在正确的信封｝

$A_{1}=$ ｛第1封信放入第1个信封｝

$\vdots$

$A_{i}=$ ｛第i 封信放入第i 个信封｝

$\therefore P(A_{0})=P(\bar{A_{1}} \bar{A_{2}} \cdots \bar{A_{n}})$

$P(\bar{A})=P(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k})$

$=P(A_{1})+P(A_{2})+\cdots+P(A_{n})-P(A_{1}A_{2})-\cdots+(-1)^{m-1}\sum_{1\leq k_{1}\leq \cdots \leq k_{m}\leq n}^{}P(A_{k_{1}}A_{k_{2}}\cdots A_{k_{m}})+\cdots +(-1)^{n-1}P(\bigcap _{k=1}^{n}A_{k})$