32、状态空间建模与分析：从传递函数到状态方程及求解

状态空间建模与分析：从传递函数到状态方程及求解

在控制系统的分析与设计中，状态空间建模是一种强大的工具。它能够全面描述系统的动态特性，为系统的性能评估和控制器设计提供基础。本文将深入探讨如何从传递函数推导出状态方程，以及如何求解这些状态方程。

1. 从传递函数获取状态方程

状态方程可以很容易地从系统的传递函数中得到。对于一阶系统，若传递函数为 (H(s) = \frac{10}{s + a})，其系统实现如图所示。从图中可推导出状态方程：
(\dot{x} = -ax + u)
(y = 10x)

对于 (n) 阶系统，需要 (n) 个积分器，每个积分器的输出被选为一个状态变量。确定状态方程的实现方法主要有以下三种：
- 直接形式或可控规范形式
- 级联形式
- 并行形式或对角形式

1.1 可控规范形式

考虑一般的 (N) 阶传递函数 (H(s) = \frac{b_0s^N + b_1s^{N - 1} + \cdots + b_N}{s^N + a_1s^{N - 1} + \cdots + a_N})，其直接形式结构实现后，可得到状态变量的方程：
(\dot{x} 1 = x_2)
(\dot{x}_2 = x_3)
(\cdots)
(\dot{x} {N - 1} = x_N)
(\dot{x} N = -a_Nx_1 - a {N - 1}x_2 - \cdots - a_2x_{N - 1} - a_1x_N + u(t))
输出方程为 (y(t) = (b_N - b_