传递函数的状态空间表示、框图表示

传递函数的框图表示

  给出一个示例过程，最后总结并推广至一般情况。给定如下传递函数，
$$\frac{Y\left(s\right)}{U\left(s\right)}=\frac{s+2}{s^2+3s+1}$$
  引入中间变量$X(s)$，建立等式关系，
$$\frac{Y\left(s\right)}{U\left(s\right)}=\frac{s+2}{s^2+3s+1}\frac{X(s)}{X(s)}\to \{\begin{array}{rl}Y\left(s\right)& =\left(s+2\right)X(s)\\ U\left(s\right)& =\left(s^2+3s+1\right)X(s)\end{array}$$
  首先，绘制$X(s)$状态变量之间的关系（以积分连接），

  然后，绘制输入$U(s)$与状态变量$X(s)$之间的关系，

  最后，补全输出方程，绘制完整框图。

传递函数的方框图表示总结：

1. 引入$X$解耦输入$U$和输出$Y$，$U$影响$X$，$X$决定$Y$，$U$与$Y$无直接作用；
2. 对于输入相同、分母相同的两个传递函数，$X(s)$表现完全一致，可以复用；

传递函数的状态空间表示

  基于$U(s)$和$X(s)$之间的框图，以及输入方程$U\left(s\right)=\left(s^2+3s+1\right)X(s)$，建立状态转移方程，
$$\{\begin{array}{rl}{x}_1& \leftrightarrow X\\ x_2& \leftrightarrow sX\end{array}\to \{\begin{array}{rl}{x_1}^{\prime }& =x_2\\ {x_2}^{\prime }& =-3x_2-x_1+u\end{array}$$
  基于$Y\left(s\right)=\left(s+2\right)X(s)$，建立输出方程，
$$y=2x_1+x_2$$

参考文献

[1] Farid Golnaraghi. Automatic Control Systems(10th Edition)[M]. Chapter8.11
[2] 张嗣瀛. 现代控制理论(第二版)[M]. 清华大学出版社. 章节2.3.3
[3] 余成波. 信号与系统(第二版)[M]. 清华大学出版社. 章节1.4.4/章节4.5.3