32、状态空间建模与分析：从传递函数到状态方程的全面解析

状态空间建模与分析：从传递函数到状态方程的全面解析

1. 引言

在控制系统的分析与设计中，状态空间建模是一种强大的工具，它能够全面描述系统的动态特性。本文将深入探讨如何从系统的传递函数推导出状态方程，以及如何求解这些状态方程。我们将介绍多种实现方法，包括可控规范型、可观规范型、级联型和对角型，并通过具体的例子进行详细说明。

2. 从传递函数获取状态方程

2.1 一阶系统示例

考虑一个一阶系统，其传递函数为 (H(s) = \frac{10}{s + a})。通过系统实现图（图 7.11），可以推导出以下状态方程：
(\dot{x} = -ax + u)
(y = 10x)
这里，每个积分器（(\frac{1}{s})）的输出被选为一个状态变量。对于 (n) 阶系统，则需要 (n) 个积分器。确定状态方程的实现方法主要有以下三种：
1. 直接形式或可控规范型
2. 级联形式
3. 并行形式或对角形式

2.2 可控规范型

2.2.1 一般情况

对于一般的 (N) 阶传递函数 (H(s) = \frac{b_0s^N + b_1s^{N - 1} + b_2s^{N - 2} + \cdots + b_N}{s^N + a_1s^{N - 1} + a_2s^{N - 2} + \cdots + a_N})，可以通过直接形式结构实现（图 7.12）。从图中可以写出状态变量的方程：
(\dot{x} 1 = x_2)
(\dot{x}_2 = x_3)
(\cdots)
(\dot{x} {N - 1} = x_N)
(\dot{x} N = -a_Nx_1 - a {N - 1}x_2 - \cdots - a_2x_{N - 1} - a_1x_N + u(t))
输出方程为：
(y(t) = b_Nx_1 + b_{N - 1}x_2 + \cdots + b_1x_N + b_0\dot{x} N = (b_N - b_0a_N)x_1 + (b {N - 1} - b_0a_{N - 1})x_2 + \cdots + (b_1 - b_0a_1)x_N + b_0u(t))
这些方程可以用矩阵形式表示：
(\dot{x}(t) =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \
-a_N & -a_{N - 1} & -a_{N - 2} & \cdots & -a_1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2 \
\vdots \
x_{N - 1} \
x_N
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \
0 \
\vdots \
0 \
1
\end{bmatrix}
u(t))
(y(t) = [(b_N - b_0a_N) (b_{N - 1} - b_0a_{N - 1}) \cdots (b_1 - b_0a_1)]x + b_0u(t) = [\overline{b} N \overline{b} {N - 1} \cdots \overline{b}_1]x + b_0u(t))
其中 (\overline{b}_N = (b_N - b_0a_N))，矩阵 (A) 被称为相变量规范型。

2.2.2 确定 A、B 和 C 矩阵的步骤

1. 转换为传递函数形式 ：如果系统由线性微分方程描述，将其转换为传递函数形式，找出分子多项式的系数 (b_0, b_1, \cdots, b_N) 和分母多项式的系数 (a_0, a_1, \cdots, a_N)。
2. 确定 A 矩阵 ：A 矩阵的元素按相变量规范型书写，最后一行的元素以负号反向书写，即 (-a_N, -a_{N - 1}, \cdots, -a_2, -a_1)。B 矩阵除最后一行元素为 1 外，其余行元素均为 0。
3. 确定 C 矩阵 ：C 矩阵的元素根据上述公式确定，例如第一列元素为 (b_N - b_0a_N)，第二列元素为 (b_{N - 1} - b_0a_{N - 1})，依此类推。

2.2.3 示例

考虑微分方程 (5\frac{d^4y}{dt^4} + 2\frac{d^3y}{dt^3} + 4\frac{d^2y}{dt^2} + 7\frac{dy}{dt} + 8y = 8\frac{du(t)}{dt} + 7u(t))，通过拉普拉斯变换得到传递函数 (H(s) = \frac{8s + 7}{5(s^4 + \frac{2}{5}s^3 + \frac{4}{5}s^2 + \frac{7}{5}s + \frac{8}{5})})，其中 (b_0 = 0, b_1 = 0, b_2 = 0, b_3 = \frac{8}{5}, b_4 = \frac{7}{5}, a_1 = \frac{2}{5}, a_2 = \frac{4}{5}, a_3 = \frac{7}{5}, a_4 = \frac{8}{5})。状态方程为：
(\dot{x}(t) =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
-\frac{8}{5} & -\frac{7}{5} & -\frac{4}{5} & -\frac{2}{5}
\end{bmatrix}
x(t) +
\begin{bmatrix}
0 \
0 \
0 \
1
\end{bmatrix}
u(t))
(\overline{b}_4 = b_4 - b_0a_4 = \frac{7}{5})
(\overline{b}_3 = b_3 - b_0a_3 = \frac{8}{5})
(\overline{b}_2 = b_2 - b_0a_2 = 0)
(\overline{b}_1 = b_1 - b_0a_1 = 0)
(y = \frac{1}{5}[7 8 0 0]x)

2.3 可观规范型

2.3.1 适用情况

相变量可控规范型适用于设计控制器以实现期望的极点位置，而可观规范型则在设计观测器时更为方便。

2.3.2 二阶系统示例

对于二阶传递函数 (H(s) = \frac{b_0s^2 + b_1s + b_2}{s^2 + a_1s + a_2})，通过交叉相乘得到 (Y(s) = (-\frac{a_1}{s} - \frac{a_2}{s^2})Y(s) + (b_0 + \frac{b_1}{s} + \frac{b_2}{s^2})U(s))，其状态方程为：
(y(t) = x_1(t) + b_0u(t))
(\dot{x}_1(t) = -a_1y(t) + x_2(t) + b_1u(t) = -a_1x_1(t) + x_2(t) + (b_1 - b_0a_1)u(t))
(\dot{x}_2(t) = -a_2y(t) + b_2u(t) = -a_2x_1(t) + (b_2 - b_0a_2)u(t))
用矩阵形式表示为：
(\dot{x}(t) =
\begin{bmatrix}
-a_1 & 1 \
-a_2 & 0
\end{bmatrix}
x(t) +
\begin{bmatrix}
b_1 - b_0a_1 \
b_2 - b_0a_2
\end{bmatrix}
u(t))
(y(t) = [1 0]x(t) + b_0u(t))

2.3.3 一般情况

对于一般的 (n) 阶传递函数 (H(s) = \frac{b_0s^n + b_1s^{n - 1} + b_2s^{n - 2} + \cdots + b_{n - 1}s + b_n}{s^n + a_1s^{n - 1} + a_2s^{n - 2} + \cdots + a_{n - 1}s + a_n})，状态方程为：
(y(t) = x_1(t) + b_0u(t))
(\dot{x} 1(t) = -a_1y(t) + x_2(t) + b_1u(t) = -a_1x_1(t) + x_2(t) + (b_1 - b_0a_1)u(t))
(\dot{x}_2(t) = -a_2y(t) + b_2u(t) + x_3(t) = -a_2x_1(t) + x_3(t) + (b_2 - b_0a_2)u(t))
(\cdots)
(\dot{x}_n = -a_nx_1(t) + (b_n - b_0a_n)u(t))
用矩阵形式表示为：
(\dot{x}(t) =
\begin{bmatrix}
-a_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \
-a_2 & 0 & 1 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
-a {n - 1} & 0 & 0 & \cdots & 1 \
-a_n & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}
x(t) +
\begin{bmatrix}
\overline{b} 1 \
\overline{b}_2 \
\vdots \
\overline{b} {n - 1} \
\overline{b}_n
\end{bmatrix}
u(t))
(y(t) = [1 0 0 \cdots 0]x(t) + b_0u(t))
其中 (\overline{b}_1 = b_1 - b_0a_1, \overline{b}_2 = b_2 - b_0a_2, \cdots, \overline{b}_n = b_n - b_0a_n)。

2.3.4 形成可观规范型的步骤

1. 确定系数 ：对于给定的传递函数，从分子多项式确定系数 (b_0, b_1, b_2, \cdots, b_n)，从分母多项式确定系数 (a_1, a_2, \cdots, a_n)。A 矩阵的第一列元素按升序以负号书写，即 (-a_1, -a_2, \cdots, -a_n)，其余元素由 1 和 0 组成。
2. 确定 B 矩阵 ：B 矩阵的元素根据上述公式确定。
3. 确定 C 矩阵 ：C 矩阵为 ([1 0 0 \cdots 0])。
4. 确定 D 矩阵 ：D 矩阵的元素为 (b_0)。

2.3.5 示例

考虑传递函数 (H(s) = \frac{7s^3 + 11s^2 + 14s + 10}{s^3 + 8s^2 + 5s + 4})，其中 (b_0 = 7, b_1 = 11, b_2 = 14, b_3 = 10, a_1 = 8, a_2 = 5, a_3 = 4)。
(\overline{b}_1 = b_1 - b_0a_1 = 11 - 7\times8 = -45)
(\overline{b}_2 = b_2 - b_0a_2 = 14 - 7\times5 = -21)
(\overline{b}_3 = b_3 - b_0a_3 = 10 - 7\times4 = -18)
状态方程为：
(\dot{x}(t) =
\begin{bmatrix}
-8 & 1 & 0 \
-5 & 0 & 1 \
-4 & 0 & 0
\end{bmatrix}
x(t) +
\begin{bmatrix}
-45 \
-21 \
-18
\end{bmatrix}
u(t))
输出方程为：
(y(t) = [1 0 0]x(t) + 7u(t))

2.4 其他实现形式

2.4.1 级联形式

对于传递函数 (H(s) = \frac{3s^2 + 24s + 44}{s^3 + 12s^2 + 44s + 48})，可以将其分解为 (H(s) = \frac{s + 5.155}{s + 4} \cdot \frac{s + 2.845}{s + 6} \cdot \frac{3}{s + 2} = H_1(s)H_2(s)H_3(s))。通过级联形式实现（图 7.16），可以得到状态方程：
(\dot{x}_1 = -4x_1 + u(t))
(\dot{x}_2 = -6x_2 + \dot{x}_1 + 5.155x_1 = 1.155x_1 - 6x_2 + u(t))
(\dot{x}_3 = -2x_3 + \dot{x}_2 + 2.845x_2 = 1.155x_1 - 3.155x_2 - 2x_3 + u(t))
(y(t) = 3x_3)
用矩阵形式表示为：
(\dot{x}(t) =
\begin{bmatrix}
-4 & 0 & 0 \
1.155 & -6 & 0 \
1.155 & -3.155 & -2
\end{bmatrix}
x(t) +
\begin{bmatrix}
1 \
1 \
1
\end{bmatrix}
u(t))
(y(t) = [0 0 3]x(t))

2.4.2 对角或约旦规范型

对于传递函数 (H(s) = \frac{3s^2 + 24s + 44}{s^3 + 12s^2 + 44s + 48} = \frac{3s^2 + 24s + 44}{(s + 2)(s + 4)(s + 6)} = \frac{1}{s + 2} + \frac{1}{s + 4} + \frac{1}{s + 6} = H_1(s) + H_2(s) + H_3(s))，通过并行形式实现（图 7.17），可以得到状态方程：
(\dot{x}_1 = -2x_1 + u(t))
(\dot{x}_2 = -4x_2 + u(t))
(\dot{x}_3 = -6x_3 + u(t))
(y(t) = x_1 + x_2 + x_3)
用矩阵形式表示为：
(\dot{x}(t) =
\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \
0 & -4 & 0 \
0 & 0 & -6
\end{bmatrix}
x(t) +
\begin{bmatrix}
1 \
1 \
1
\end{bmatrix}
u(t))
(y(t) = [1 1 1]x(t))

从上述例子可以看出，对于同一个传递函数，不同的实现形式得到的 A 矩阵并不唯一，但它们都能描述系统的相同特性。在并行形式表示中，系统传递函数的特征值构成了 A 矩阵的对角元素。

3. 从状态方程求传递函数

考虑状态方程 (\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)) 和 (y(t) = Cx(t) + Du(t))，在初始条件为零的情况下，对其进行拉普拉斯变换：
([sI - A]X(s) = BU(s))
(X(s) = [sI - A]^{-1}BU(s))
(Y(s) = CX(s) + DU(s) = C[sI - A]^{-1}BU(s) + DU(s))
传递函数为：
(H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = C[sI - A]^{-1}B + D)
其中 ([sI - A]^{-1}) 称为状态转移矩阵（STM），([sI - A]^{-1} = \frac{\text{Adjoint}[sI - A]}{\text{Determinant}[sI - A]})。

3.1 示例

考虑状态方程 (\dot{x} =
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \
-2 & 0
\end{bmatrix}
x +
\begin{bmatrix}
1 \
0
\end{bmatrix}
u)，(y = [0 1]x)。
((sI - A) =
\begin{bmatrix}
s + 3 & -1 \
2 & s
\end{bmatrix})
((sI - A)^{-1} = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}
\begin{bmatrix}
s & 1 \
-2 & s + 3
\end{bmatrix})
((sI - A)^{-1}B = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}
\begin{bmatrix}
s & 1 \
-2 & s + 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \
0
\end{bmatrix}
= \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}
\begin{bmatrix}
s \
-2
\end{bmatrix})
传递函数为：
(H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = C[sI - A]^{-1}B = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}[0 1]
\begin{bmatrix}
s \
-2
\end{bmatrix}
= \frac{-2}{(s + 1)(s + 2)})

4. 状态方程的求解

4.1 拉普拉斯变换求解

考虑状态方程 (\dot{x} = Ax + Bu(t))，对其进行拉普拉斯变换：
(sX(s) - x(0) = AX(s) + BU(s))
((sI - A)X(s) = x(0) + BU(s))
(X(s) = [sI - A]^{-1}[x(0) + BU(s)] = \varphi(s)[x(0) + BU(s)])
其中 (\varphi(s) = [sI - A]^{-1}) 为状态转移矩阵。
(x(t) = \mathcal{L}^{-1}[\varphi(s)x(0)] + \mathcal{L}^{-1}[\varphi(s)BU(s)])
(\mathcal{L}^{-1}[\varphi(s)x(0)]) 给出零输入响应，(\mathcal{L}^{-1}[\varphi(s)BU(s)]) 给出零状态响应。

4.2 示例

考虑状态方程 (\dot{x} =
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \
-2 & 0
\end{bmatrix}
x +
\begin{bmatrix}
1 \
0
\end{bmatrix}
u(t))，初始条件 (x(0) =
\begin{bmatrix}
1 \
-1
\end{bmatrix})，输入 (u(t) = u(t))（单位阶跃信号）。
((sI - A) =
\begin{bmatrix}
s + 3 & -1 \
2 & s
\end{bmatrix})
状态转移矩阵 (\varphi(s) = [sI - A]^{-1} = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}
\begin{bmatrix}
s & 1 \
-2 & s + 3
\end{bmatrix})
((sI - A)^{-1}x(0) = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}
\begin{bmatrix}
s & 1 \
-2 & s + 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \
-1
\end{bmatrix}
= \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}
\begin{bmatrix}
s - 1 \
-(s + 5)
\end{bmatrix})
(U(s) = \frac{1}{s})
((sI - A)^{-1}BU(s) = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}
\begin{bmatrix}
s & 1 \
-2 & s + 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \
0
\end{bmatrix}
\frac{1}{s}
= \frac{1}{s(s + 1)(s + 2)}
\begin{bmatrix}
s \
-2
\end{bmatrix})
(x(t) = \mathcal{L}^{-1}{[sI - A]^{-1}x(0) + [sI - A]^{-1}BU(s)})
经过部分分式展开和逆拉普拉斯变换，得到：
(x(t) =
\begin{bmatrix}
2e^{-2t} - e^{-t} \
2e^{-2t} - 2e^{-t} - 1
\end{bmatrix})
(y(t) = Cx(t) = 2e^{-2t} - 2e^{-t} - 1)

4.3 时域求解

考虑状态方程 (\dot{x} = Ax + Bu(t))，两边同时乘以 (e^{-At})：
(e^{-At}\dot{x} = e^{-At}Ax + e^{-At}Bu(t))
(\frac{d}{dt}[e^{-At}x] = e^{-At}Bu(t))
对其从 0 到 (t) 进行积分：
(e^{-At}x - x(0) = \int_0^t e^{-A\tau}Bu(\tau)d\tau)
(x(t) = e^{At}x(0) + \int_0^t e^{A(t - \tau)}Bu(\tau)d\tau)
其中 (e^{At}) 为状态转移矩阵，该方程可以推广到任意初始值 (t_0)：
(x(t) = e^{A(t - t_0)}x(t_0) + \int_{t_0}^t e^{A(t - \tau)}Bu(\tau)d\tau = \text{自由响应} + \text{强迫响应})

4.4 确定 (e^{At}) — 凯莱 - 哈密尔顿定理

根据凯莱 - 哈密尔顿定理，一个 (n\times n) 的方阵 (A) 满足其自身的特征方程 (|\lambda I - A| = 0)，其中 (\lambda) 是系统矩阵 (A) 的特征值。设：
(F(A) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \alpha_k A^k)
(F(\lambda) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \alpha_k \lambda^k)
(e^{At} = \sum_{k = 0}^{n - 1} \alpha_k A^k)
该方程应满足 (A) 的所有特征值。

4.4.1 不同特征值情况

如果 (A) 的特征值不同，则按照以下步骤计算 (e^{At})：
1. 确定特征值 ：从 (|\lambda I - A| = 0) 确定矩阵 (A) 的特征值。
2. 建立方程 ：对于不同的特征值 (\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)，建立方程：
(e^{\lambda_1t} = \alpha_0 + \alpha_1\lambda_1 + \alpha_2\lambda_1^2 + \cdots + \alpha_{n - 1}\lambda_1^{n - 1})
(e^{\lambda_2t} = \alpha_0 + \alpha_1\lambda_2 + \alpha_2\lambda_2^2 + \cdots + \alpha_{n - 1}\lambda_2^{n - 1})
(\cdots)
(e^{\lambda_nt} = \alpha_0 + \alpha_1\lambda_n + \alpha_2\lambda_n^2 + \cdots + \alpha_{n - 1}\lambda_n^{n - 1})
通过求解这些联立方程，可以确定 (\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)。
3. 计算 (e^{At}) ：
(e^{At} = \alpha_0I + \alpha_1A + \alpha_2A^2 + \cdots + \alpha_{n - 1}A^{n - 1})
其中 (I) 为 (n\times n) 的单位矩阵。

4.4.2 多重特征值情况

假设 (\lambda = \lambda_i) 具有 (m) 重特征值，如果其他特征值都不同，则有 (n - m + 1) 个独立方程。对于其余的 (m - 1) 个方程，使用柯西留数定理：
(\frac{d^i f(\lambda)}{d\lambda^i}\big| {\lambda = \lambda_i} = \frac{d^i}{d\lambda^i}\left(\sum {k = 0}^{n - 1} \alpha_k \lambda^k\right)\big|_{\lambda = \lambda_i})
其中 (i = 1, 2, 3, \cdots, m - 1)。

4.5 示例

考虑向量矩阵微分方程 (\dot{x} =
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \
-2 & 0
\end{bmatrix}
x +
\begin{bmatrix}
1 \
0
\end{bmatrix}
u(t))，初始条件 (x(0) =
\begin{bmatrix}
1 \
-1
\end{bmatrix})。
(| \lambda I - A | = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = (\lambda + 1)(\lambda + 2))
(\lambda_1 = -1)，(\lambda_2 = -2)
(e^{-t} = \alpha_0 - \alpha_1)
(e^{-2t} = \alpha_0 - 2\alpha_1)
求解上述联立方程，得到 (\alpha_0 = 2e^{-t} - e^{-2t})，(\alpha_1 = e^{-t} - e^{-2t})
(e^{At} = \alpha_0I + \alpha_1A =
\begin{bmatrix}
(2e^{-t} - e^{-2t}) & 0 \
0 & (2e^{-t} - e^{-2t})
\end{bmatrix}
+ (e^{-t} - e^{-2t})
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \
-2 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(-e^{-t} + 2e^{-2t}) & (e^{-t} - e^{-2t}) \
2(-e^{-t} + 2e^{-2t}) & (2e^{-t} - e^{-2t})
\end{bmatrix})
(x(t) = e^{At}x(0) + \int_0^t e^{A(t - \tau)}Bu(\tau)d\tau)
自由响应 (x_{FR}(t) = e^{At}x(0) =
\begin{bmatrix}
3e^{-2t} - 2e^{-t} \
3e^{-2t} - 4e^{-t}
\end{bmatrix})
强迫响应 (x_{FO}(t) = \int_0^t e^{A(t - \tau)}Bu(\tau)d\tau =
\begin{bmatrix}
e^{-t} - e^{-2t} \
-1 + 2e^{-t} - e^{-2t}
\end{bmatrix})
总响应 (x(t) = x_{FR}(t) + x_{FO}(t) =
\begin{bmatrix}
2e^{-2t} - e^{-t} \
2e^{-2t} - 2e^{-t} - 1
\end{bmatrix})

4.6 总结

本文详细介绍了从传递函数推导状态方程的多种方法，包括可控规范型、可观规范型、级联型和对角型，并通过具体例子说明了不同实现形式的应用。同时，还介绍了从状态方程求传递函数的方法以及状态方程的求解方法，包括拉普拉斯变换求解和时域求解。通过这些方法，可以全面分析和设计控制系统，为实际工程应用提供有力的支持。

5. 更多示例与应用

5.1 示例 1：复杂传递函数的状态空间建模

考虑传递函数 (H(s) = \frac{10(s + 2)}{s^2(s + 1)^2(s + 4)})，我们使用约旦规范型来确定 (A)、(B) 和 (C) 矩阵。
1. 部分分式展开 ：
(H(s)=\frac{A_1}{s^2}+\frac{A_2}{s}+\frac{A_3}{(s + 1)^2}+\frac{A_4}{(s + 1)}+\frac{A_5}{(s + 4)})
通过之前章节讨论的方法确定残数：
(A_1 = 5)，(A_2=-\frac{35}{4})，(A_3=\frac{10}{3})，(A_4=\frac{80}{9})，(A_5 = -\frac{5}{36})
则 (H(s)=-\frac{35}{4}\frac{1}{s}+\frac{5}{s^2}+\frac{80}{9}\frac{1}{(s + 1)}+\frac{10}{3}\frac{1}{(s + 1)^2}-\frac{5}{36}\frac{1}{(s + 4)})
2. 确定状态方程 ：
从系统的并行形式实现（图 7.18）可得状态方程：
(\dot{x}_1 = u(t))
(\dot{x}_2 = x_1)
(\dot{x}_3=-x_3 + u(t))
(\dot{x}_4 = x_3 - x_4)
(\dot{x}_5=-4x_5 + u(t))
(y(t)=-\frac{35}{4}x_1 + 5x_2+\frac{80}{9}x_3+\frac{10}{3}x_4-\frac{5}{36}x_5)
写成矩阵形式：
(\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}
0&0&0&0&0\
1&0&0&0&0\
0&0& - 1&0&0\
0&0&1& - 1&0\
0&0&0&0& - 4
\end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}
1\
0\
1\
0\
1
\end{bmatrix}u(t))
(y(t)=\begin{bmatrix}-\frac{35}{4}&5&\frac{80}{9}&\frac{10}{3}&-\frac{5}{36}\end{bmatrix}x(t))

5.2 示例 2：系统状态转移矩阵的求解

5.2.1 示例 2.1

已知系统矩阵 (A=\begin{bmatrix}4&1& - 2\1&0&2\1& - 1&3\end{bmatrix})，求 (e^{At})。
1. 求特征方程 ：
(F(\lambda)=|\lambda I - A|=\lambda^3 - 7\lambda^2+15\lambda - 9=(\lambda - 1)(\lambda - 3)^2)
特征值为 (\lambda_1 = 1)，(\lambda_2=\lambda_3 = 3)（重根情况）。
2. 建立方程 ：
(e^t=\alpha_0+\alpha_1+\alpha_2)
(e^{3t}=\alpha_0 + 3\alpha_1+9\alpha_2)
对 (e^{\lambda t}) 求导：(\frac{d}{d\lambda}e^{\lambda t}=e^{\lambda t})，当 (\lambda = 3) 时，(te^{3t}=\alpha_1 + 6\alpha_2)
3. 求解系数 ：
解上述联立方程可得：
(\alpha_0=\frac{1}{4}(9e^t+6te^{3t}-5e^{3t}))
(\alpha_1=\frac{1}{4}(-6e^t - 8te^{3t}+6e^{3t}))
(\alpha_2=\frac{1}{4}(e^t + 2te^{3t}-e^{3t}))
4. 计算 (e^{At}) ：
(e^{At}=\alpha_0I+\alpha_1A+\alpha_2A^2)
(=\alpha_0\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix}+\alpha_1\begin{bmatrix}4&1& - 2\1&0&2\1& - 1&3\end{bmatrix}+\alpha_2\begin{bmatrix}15&6& - 12\6& - 1&4\6& - 2&5\end{bmatrix})
(=\begin{bmatrix}(-te^{3t}+e^{3t})&(te^{3t})&(-2te^{3t})\(te^{3t})&(2e^t+te^{3t}-e^{3t})&-2(e^t+te^{3t}-e^{3t})\(te^{3t})&(e^t+te^{3t}-e^{3t})&(-e^t - 2te^{3t}+2e^{3t})\end{bmatrix})

5.2.2 示例 2.2

对于系统 (\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}0&1\ - 4& - 5\end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}u(t))，求状态转移矩阵（STM）。
1. 计算 ([sI - A]) 及其伴随矩阵和行列式 ：
([sI - A]=\begin{bmatrix}s& - 1\4&s + 5\end{bmatrix})
伴随矩阵 (\text{Adjoint of }[sI - A]=\begin{bmatrix}s + 5&1\ - 4&s\end{bmatrix})
(|sI - A|=s(s + 5)+4=(s + 1)(s + 4))
2. 求状态转移矩阵的拉普拉斯变换 ：
(\varphi(s)=[sI - A]^{-1}=\frac{1}{(s + 1)(s + 4)}\begin{bmatrix}s + 5&1\ - 4&s\end{bmatrix})
通过部分分式展开：
(\varphi(s)=\begin{bmatrix}\frac{4}{3}\frac{1}{s + 1}-\frac{1}{3}\frac{1}{s + 4}&\frac{1}{3}\frac{1}{s + 1}-\frac{1}{3}\frac{1}{s + 4}\-\frac{4}{3}\frac{1}{s + 1}+\frac{4}{3}\frac{1}{s + 4}&-\frac{1}{3}\frac{1}{s + 1}+\frac{4}{3}\frac{1}{s + 4}\end{bmatrix})
3. 求状态转移矩阵的时域形式 ：
对 (\varphi(s)) 进行逆拉普拉斯变换可得：
(\varphi(t)=\begin{bmatrix}\frac{4}{3}e^{-t}-\frac{1}{3}e^{-4t}&\frac{1}{3}(e^{-t}-e^{-4t})\-\frac{4}{3}(e^{-t}-e^{-4t})&-\frac{1}{3}(e^{-t}-4e^{-4t})\end{bmatrix})

5.3 示例 3：系统时间响应的求解

考虑系统 (\dot{x}_1=-x_1)，(\dot{x}_2=x_1 - x_2+u(t))，初始条件 (x(0)=\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix})。
1. 写成矩阵形式 ：
(\dot{x}=\begin{bmatrix}-1&0\1& - 1\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}u)
2. 求特征方程和特征值 ：
(|sI - A|=(s + 1)^2)，特征值 (\lambda_1=\lambda_2=-1)（重根）。
3. 确定系数 ：
(e^{-t}=\alpha_0-\alpha_1)
对 (e^{\lambda t}) 求导：(\frac{d}{d\lambda}e^{\lambda t}=e^{\lambda t})，当 (\lambda=-1) 时，(-te^{-t}=\alpha_1)
则 (\alpha_0=\alpha_1 + e^{-t}=e^{-t}-te^{-t})
4. 求状态转移矩阵 ：
(e^{At}=\alpha_0I+\alpha_1A=\begin{bmatrix}e^{-t}-te^{-t}&0\0&e^{-t}-te^{-t}\end{bmatrix}+(-te^{-t})\begin{bmatrix}-1&0\1& - 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e^{-t}&0\-te^{-t}&e^{-t}\end{bmatrix})
5. 求系统响应 ：
(x(t)=e^{At}x(0)+\int_0^t e^{A(t - \tau)}Bu(\tau)d\tau)
(e^{At}x(0)=\begin{bmatrix}e^{-t}&0\-te^{-t}&e^{-t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e^{-t}\-te^{-t}\end{bmatrix})
(\int_0^t e^{A(t - \tau)}Bu(\tau)d\tau=\int_0^t\begin{bmatrix}e^{-(t - \tau)}&0\-(t - \tau)e^{-(t - \tau)}&e^{-(t - \tau)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}d\tau=\begin{bmatrix}0\1 - e^{-t}\end{bmatrix})
所以 (x(t)=\begin{bmatrix}e^{-t}\1 - e^{-t}(1 + t)\end{bmatrix})，即 (x_1 = e^{-t})，(x_2=1 - e^{-t}(1 + t))

6. 状态空间建模与分析的总结与展望

6.1 方法总结

本文涵盖了从传递函数推导状态方程的多种方法，包括可控规范型、可观规范型、级联型和对角型。每种方法都有其适用场景：
|方法|适用场景|
| ---- | ---- |
|可控规范型|适用于控制器设计，便于确定系统的可控性|
|可观规范型|适用于观测器设计，便于确定系统的可观性|
|级联型|适用于系统可以分解为多个子系统级联的情况|
|对角型|适用于系统特征值易于求解，且希望将系统矩阵对角化的情况|

同时，我们还介绍了从状态方程求传递函数的方法，基于拉普拉斯变换建立了两者之间的联系。在状态方程的求解方面，我们讨论了拉普拉斯变换求解和时域求解两种方法，拉普拉斯变换求解在频域中进行，利用了拉普拉斯变换的性质；时域求解则基于状态转移矩阵 (e^{At})，通过积分的方式得到系统的响应。

6.2 流程总结

下面是一个从传递函数到状态方程，再到求解状态方程的流程图：

graph LR
    A[传递函数] --> B{选择实现形式}
    B --> |可控规范型| C1[确定 A、B、C 矩阵]
    B --> |可观规范型| C2[确定 A、B、C 矩阵]
    B --> |级联型| C3[确定 A、B、C 矩阵]
    B --> |对角型| C4[确定 A、B、C 矩阵]
    C1 --> D[状态方程]
    C2 --> D
    C3 --> D
    C4 --> D
    D --> E{求解方法}
    E --> |拉普拉斯变换| F1[求解状态方程]
    E --> |时域求解| F2[求解状态方程]
    F1 --> G[系统响应]
    F2 --> G

6.3 展望

状态空间建模与分析在控制系统设计、信号处理等领域有着广泛的应用。未来，随着科技的发展，对于复杂系统的建模和分析需求将不断增加。例如，在多智能体系统、网络控制系统等领域，需要考虑系统的分布式特性、通信延迟等因素，这将对状态空间建模与分析提出更高的要求。同时，结合人工智能和机器学习的方法，如神经网络、强化学习等，有望为状态空间建模与分析带来新的思路和方法，进一步提高系统的性能和可靠性。

总之，状态空间建模与分析是一门充满活力和挑战的学科，不断探索和创新将推动其在更多领域的应用和发展。