【JZOJ4919】神炎皇

最新推荐文章于 2024-11-08 09:15:06 发布

sadnohappy

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分类专栏：题解数学其他线性筛法

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本文介绍了一种寻找神奇数对的方法。神奇数对是指两个正整数a和b的和不大于n，并且它们的和是它们乘积的因子。通过数学推导，将问题转化为求解特定条件下互质对的数量，最终利用线性筛法计算欧拉函数来得出答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

Solution

设 $gcd(a,b)=d,a'=\dfrac{a}{d},b'=\dfrac{b}{d}$
则有 $a'+b'|a'b'd$
因为 $gcd(a',b')=1$ ，所以 $a'+b'$ 不可能是 $a'b'$ 的因子。
则 $a'+b'|d$ 。
因为 $(a'+b')d\leq n$ ，所以 $a'+b'\leq \sqrt n$ 。
设 $k=a'+b'$ ，那么因为 $k^2\leq n$ ，所以 $k\leq \dfrac{n}{k}$ 。
又因为 $k|d$ ，所以 $k\leq \dfrac{n}{k^2}$ 。
接下来是求符合 $a',b'$ 的对数，因为 $gcd(a',b')=1$ ，所以 $gcd(a',a'+b')=1$ ，然后线性筛法求欧拉函数即可。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define ll long long
#define N 10000010
using namespace std;
ll pr[N/10],phi[N];
bool bz[N];
void get()
{
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!bz[i]) pr[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt && i*pr[j]<N;j++)
        {
            bz[i*pr[j]]=true;    
            if(i%pr[j]==0)
            {
                phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
                break;
            }
            else phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("uria.in","r",stdin);
    freopen("uria.out","w",stdout);
    get();
    ll n,ans=0;
    scanf("%lld",&n);
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    ans+=n/(i*i)*phi[i];
    printf("%lld",ans);
}