JZOJ 4919.【NOIP2017提高组模拟12.10】神炎皇

最新推荐文章于 2016-12-13 16:32:00 发布

Luckfort

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/huangjingyuan107/article/details/53586151

本文介绍了一种高效算法，用于计算在特定约束条件下的神奇数对数量。神奇数对是指两个整数a和b，满足a+b≤n且a+b能整除ab。文章详细解释了算法原理，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？
数据范围： $N≤10^{14}$

题解

我们设 $gcd(a,b)=d$ ，
再设 $a'=\frac{a}{d}$ ， $b'=\frac{b}{d}$ .
则 $gcd(a',b')=1$ .
可以得出 $a'+b'∤a'b'$
则 $gcd(a'+b',a')=1$ 。
∵ $a+b|ab$
∴ $(a'+b')d|a'b'd^2$ 。
∵ $a'+b'∤a'b'$
∴ $a'+b'|d$
设 $d=i(a'+b')$
则 $a+b=d(a'+b')=i(a'+b')^2≤n$
于是我们枚举 $k=a'+b'$ ，
则i可能取的值有 $⌊\frac{n}{k^2}⌋*gcd(a'+b',a')$
对于合法的 $a'$ ,有 $φ(a'+b')$ 个.
所以，

a n s = Σ ⌊ n \sqrt ⌋ k = 1 * ⌊ n k 2 ⌋ * φ (k)

$ans=\Sigma_{k=1}^{⌊\sqrt{n}⌋}*⌊\frac{n}{k^2}⌋*φ(k)$
欧拉函数可以用线性筛法求。
时间复杂度：

O(n−−√) $O(\sqrt{n})$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 10000010
#define LL long long
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
LL ss[N],phi[N];
LL i,j,k,l,n,m,tot,ans;
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    fo(i,2,N-10)
    {
        if (!ss[i])
        {
            ss[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        fo(j,1,tot)
        {
            if (i*ss[j]>N-10) break;
            ss[i*ss[j]]=1;
            if (i%ss[j]==0) phi[i*ss[j]]=phi[i]*ss[j];
                       else phi[i*ss[j]]=phi[i]*(ss[j]-1);
        }
    }
    fo(i,1,N-10)
    {
        if (i*i>n) break;
        ans=ans+phi[i]*(n/(i*i));
    }
    printf("%lld",ans);
}