神炎皇

最新推荐文章于 2016-12-12 21:59:01 发布

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线性筛法

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本文探讨了一道有趣的数学问题——寻找神奇数对，并详细解析了解题思路与算法实现。通过对整数对(a,b)的特定条件分析，利用数学性质简化问题，并采用线性筛法高效求解欧拉φ函数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

神炎皇

(File IO): input:uria.in output:uria.out

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Description
神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

Input
一行一个整数n。

Output
一行一个整数表示答案，保证不超过64位整数范围。

Sample Input

Sample Output

Data Constraint
对于20%的数据n<=10^3；
对于40%的数据n<=10^5；
对于60%的数据n<=10^7；
对于80%的数据n<=10^12；
对于100%的数据n<=10^14。

解题思路

假设 $\gcd(a,b)=d$ ，必然有d>1才能使 $a+b|ab$ ，这时，我们设 $a=a'd,b=b'd$ ，必有 $\gcd(a',b')=1,a'+b'∤a'b'，\gcd(a'+b',a')=1$ ，a+b|ab化为

(a' + b') d | a' b' d 2 = > a' + b' | a' b' d

$(a'+b')d|a'b'd^2=>a'+b'|a'b'd$

∵ a' + b' ∤ a' b' ∴ a' + b' | d

$∵ a'+b'∤a'b' ∴ a'+b'|d$
再设

i(a′+b′)=d $i(a'+b')=d$ 则

a+b=d(a′+b′)=(a′+b′)2i≤n $a+b=d(a'+b')=(a'+b')^2i≤n$ i>0，则

a′+b′≤n√ $a'+b'≤\sqrt{n}$
设

k=a′+b′ $k=a'+b'$ ，枚举k，则i可能取的值的个数是

⌊nk2⌋ $⌊\frac{n}{k^2}⌋$ 个

gcd(k,a′) $\gcd(k,a')$ 则a’的取值个数是

φ(k) $φ(k)$ 所以答案就是

\sum k = 2 ⌊ n \sqrt ⌋ ⌊ n k 2 ⌋ φ (k)

$\sum_{k=2}^{⌊\sqrt{n}⌋}⌊\frac{n}{k^2}⌋φ(k)$

其中 $φ(k)$ 可以用线性筛法求

φ (k) = k * \prod d | k, d \in P d - 1 d

$φ(k)=k*\prod_{d|k\ ,\ d∈P}\frac{d-1}{d}$
或者是，若

k = \prod p i \in P p i a i

$k=\prod_{pi∈P} pi^{ai}$ 则

φ (k) = \prod p i a i - 1 (p i - 1)

$φ(k)=\prod pi^{ai-1}(pi-1)$

那么 $φ(k)=φ(\frac kp)*p (p|k)或φ(k)=φ(\frac kp)*(p-1) (p∤k)$ 这样就可以用线性筛法套上去求φ(k)了

$O(\sqrt n)$

Codes

#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,ans,f[10000100],pr[10000100];
int main()
{
    for(int i=2;i<=10000000;i++)f[i]=i-1;
    for(int i=2;i<=10000000;i++)
    {
        if(f[i]==i-1)
        {
            pr[++pr[0]]=i;
        }
        for(int j=1;j<=pr[0];j++)
        {
            if(pr[j]*i>10000000)break;
            if(i%pr[j]==0)
            {
                f[i*pr[j]]=f[i]*pr[j];
                break;
            }else
            {
                f[i*pr[j]]=f[i]*(pr[j]-1);
            }
        }
    }
    freopen("uria.in","r",stdin);
    freopen("uria.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    for(long long i=2;i*i<=n;i++)
    {
        ans+=n/(i*i)*f[i];
    }
    printf("%lld",ans);
}