[JZOJ4919] 神炎皇

最新推荐文章于 2018-08-23 21:47:31 发布

BAJim_H

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分类专栏：题解 ————欧拉函数 ————最大公约数 ————线性筛法 ---数论文章标签：数论欧拉函数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hzj1054689699/article/details/53581248

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本文介绍了一种寻找神奇数对的方法。神奇数对定义为两个正整数a和b，满足a+b小于等于n，且a+b能被ab整除。文章通过数学推导给出了求解神奇数对数量的有效算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？
对于100%的数据n<=100000000000000。

Solution

我乱搞弄出这么一个式子
若 $a+b|ab$ ，那么 $a,b$ 一定可以表示为
$kp(p+q),kq(p+q)$ ，且 $gcd(p,q)=1$

证明是我后来花了 $1\over 4$ 节物理课YY出来的

设 $gcd(a,b)=d,a=pd,b=qd$
$pd+qd|pqd^2$

$p+q|pqd$

然后 $gcd(p,q)=1$ ，因此 $gcd(p,p+q)=gcd(p+q,q)=1$ （就是辗转相除法么）
所以 $gcd(p+q,pq)=1$
所以 $p+q|d$

设 $d=k(p+q)$
所以 $a=pd=kp(p+q),b=qd=kq(p+q)$ 。得证

然后 $k_{min}=1$ ，所以 $(p+q)^2\leq n$
$p+q\leq \sqrt n$
枚举 $l=p+q$ ，统计 $gcd(p,q)=1$ 的组数，然而我数学非常不好，不会做！！每有一组答案就加上 $\Large \sqrt n \over l^2$ ，因为 $\large k\leq {\sqrt n \over l^2}$

后来我发现我十分的SB
若 $gcd(p,q)=1$ ，显然 $gcd(p,p+q)=1$ （上面讲过了）
那么组数就是 $φ(l)$ ~~啊啊啊啊~~
然后线筛一下就好了。

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define LL long long
#define sqr(x) x*x 
#define N 10000005
using namespace std;
LL n;
bool bz[N];
int pr[N];
LL phi[N];
int main()
{
    cin>>n;
    LL ans=0,l=trunc(sqrt(n));
    fo(i,2,l)
    {
        if(!bz[i]) pr[++pr[0]]=i,phi[i]=i-1;    
        for(int j=1;j<=pr[0]&&i*pr[j]<=l;j++)    
        {    
            bz[i*pr[j]]=1;
            if(!(i%pr[j])) 
            {
                phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];   
                break;   
            }
            else phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }    
    }    
    fo(i,2,l) 
    {
        LL i1=i;
        ans=(ans+n/(i1*i1)*phi[i]);
     }
    cout<<ans;
}