【NOIP提高组】神炎皇

最新推荐文章于 2016-12-13 16:32:00 发布

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#NOIP #gcd #欧拉函数 #线性筛

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欧拉函数

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本文介绍了一种通过数学方法寻找神奇数对的问题解决方案。对于一对整数(a,b)，如果a+b小于等于n，并且a+b能整除a*b，那么这对整数就被称为神奇数对。文章提供了一个算法，用于计算所有符合条件的神奇数对的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

Solution

从题意上来看（a+b）是（a*b）的因子，设 $d=gcd(a,b)$ $a'={a\over d}$ $b'={b\over d}$ 。
$(a+b)|(a*b)$ 可以等价为 $(a'+b')*d|a'*b'*d^2$
∵ $gcd(a,b)=d$ ∴ $gcd(a',b')=1$ 且 $(a'+b')|d$ ，也意味着 $(a'+b')≤d$
又∵ $a+b≤n$ 即 $(a'+b')*d≤n$
∴不妨枚举 $k=(a'+b')$ ，对于枚举出的这个值共有 $n \over k^2$ 个是对应合法的，而求 $(a'+b')=k$ 且 $a'$ 与 $b'$ 互质的对数，很明显就是求 $\varphi(k)$ ，用线性筛就能够完成了。

Code

var
    n,ans,sum,i,maxn:int64;
    s,f:array[0..10000000] of longint;
    p:array[0..10000000] of boolean;
    pd:boolean;
procedure phi;
var i,j,maxn:longint;
begin
    maxn:=trunc(sqrt(n));
    for i:=2 to maxn do
    begin
        if p[i]=false then
        begin
            inc(s[0]);s[s[0]]:=i;p[i]:=true;f[i]:=i-1;
        end;
        for j:=1 to s[0] do
        begin
            if i*s[j]>maxn then break;
            p[i*s[j]]:=true;
            if i mod s[j]=0 then
            begin
                f[i*s[j]]:=f[i]*s[j];
                break;
            end
            else f[i*s[j]]:=f[i]*(s[j]-1);
        end;
    end;
end;
begin
    readln(n);
    phi;
    maxn:=trunc(sqrt(n));
    i:=1;
    while i<maxn do
    begin
        inc(i);
        sum:=n div (i*i);
        ans:=ans+f[i]*sum;
    end;
    writeln(ans);
end.