【JZOJ3051】单元格

最新推荐文章于 2020-02-07 18:49:01 发布

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曼哈顿距离

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本文探讨了一个数学问题，在给定的R行C列的矩阵中，如何选取三个不共行也不共列的单元格，使它们构成的费用（即两两之间的距离之和）落在指定区间内。文章提供了一种简洁的解决方案，并通过枚举子矩阵来计算所有可能的方案数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

在一个R行C列的表格里，我们要选出3个不同的单元格。但要满足如下的两个条件：

（1）选中的任意两个单元格都不在同一行。

（2）选中的任意两个单元格都不在同一列。

假设我们选中的单元格分别是：A，B，C，那么我们定义这种选择的“费用”= f[A][B] + f[B][C] + f[C][A]。其中f[A][B]是指单元格A到单元格B的距离，即两个单元格所在行编号的差的绝对值 + 两个单元格所在列编号的差的绝对值。例如：单元格A在第3行第2列，单元格B在第5行第1列，那么f[A][B] = |3-5| + |2-1| = 2 + 1 = 3。至于f[B][C], f[C][A]的意义也是同样的道理。现在你的任务是：有多少种不同的选择方案，使得“费用”不小于给定的数minT，而且不大于给定的数maxT，即“费用”在【minT, maxT】范围内有多少种不同的选择方案。答案模1000000007。所谓的两种不同方案是指：只要它们选中的单元格有一个不同，就认为是不同的方案。

Solution

不要想复杂了！

观察一下发现如果一个矩阵能选出三个单元格，那么这个矩阵选出三个单元格的每种方案的“费用”都是相同的。

于是我们枚举子矩阵的大小，然后我们要计算出每种矩阵能选出的方案数。

设子矩阵为 $r$ 行 $c$ 列，大概有以下几种情况（红色部分表示要放的位置，红色矩形表示都可以放，红圈表示只能放一个），每种方案数都是 $(r-2)(c-2)$ ：

这里写图片描述

像这样有两点固定在矩阵四角的有两种情况。

这里写图片描述

像这样一个点固定在四角，其它两个点在边上活动的有四种情况。

总共就是六种情况。

然后再计算一下这个矩阵在原矩阵中出现了多少次就可以了。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define N 4001
#define mo 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
int main()
{
    int n,m,minl,maxl;
    cin>>n>>m>>minl>>maxl;
    ll ans=0;
    fo(i,2,n)
    fo(j,2,m)
    if((i+j-2)*2>=minl && (i+j-2)*2<=maxl)
    ans=(ans+(i-2)*1ll*(j-2)*1ll*(n-i+1)*1ll*(m-j+1))%mo;
    cout<<ans*6%mo;
}