2、社会选择与博弈论基础概念及应用解析

社会选择与博弈论基础概念及应用解析

1. 基础符号表示

在相关研究中，我们通常用大写字母表示集合，例如 (A = {a_1, a_2, \cdots}) ；用粗体字母表示向量，例如 (\mathbf{a} = (a_1, a_2, \cdots))。符号 (\mathbf{a} {-i}) 表示向量 (\mathbf{a}) 中除了第 (i) 个元素之外的所有元素，即 (\mathbf{a} {-i} = (a_1, \cdots, a_{i - 1}, a_{i + 1}, \cdots)) 。对于指标集 (I) 的子集，(\mathbf{a}_{-I}) 包含除了 (i \in I) 对应的 (a_i) 之外的所有元素。

对于有限集 (X) ，我们用 (R(X)) 表示 (X) 上所有弱序的集合，用 (L(X)) 表示 (X) 上所有线性（严格）序的集合。对于 (L \in L(X)) ，(\text{top}(L)) 表示 (L) 中的第一个元素。我们还用 (U(X)) 表示所有形式为 (U: X \to \mathbb{R}) 的函数的集合。对于整数 (k) ，我们记 ([k] = {1, \cdots, k}) 和 ([k]_0 = {0, 1, \cdots, k}) 。

2. 社会选择相关概念

2.1 投票场景定义

一个投票场景由 (m) 个候选人（或替代方案）的集合 (A) 、 (n) 个选民的集合 (N) 以及偏好配置 (R = (R_1, \cdots, R_n)) 定义，其中每个 (R_i \in R(A)) 。对于 (a, b \in A) ，(i \in N) ，如果选民 (i) 更喜