57、经典逻辑与博弈论中的核心概念解析

经典逻辑与博弈论中的核心概念解析

1. 经典逻辑概述

经典逻辑包含命题演算和一阶逻辑两部分。命题演算是基础，给定一组命题符号集合 (P) ，命题演算中的句子集合 (L) 是包含 (P) 的最小集合，满足若 (\phi, \psi \in L) ，则 (\neg\phi \in L) 且 (\phi \land \psi \in L) 。其他连接词如 (\lor) 、 (\to) 和 (\equiv) 可通过 (\land) 和 (\neg) 定义。

命题解释（或模型）是 (P) 的子集 (M) ，表示为真的原始命题。模型与句子之间的满足关系 (\vDash) 递归定义如下：
- 对于任意 (p \in P) ， (M \vDash p) 当且仅当 (p \in M) 。
- (M \vDash \phi \land \psi) 当且仅当 (M \vDash \phi) 且 (M \vDash \psi) 。
- (M \vDash \neg\phi) 当且仅当 (M \nvDash \phi) 。

(\vDash) 符号有两种重载含义：一是表示有效性， (\vDash \phi) 意味着 (\phi) 在所有命题模型中为真；二是表示蕴含关系， (\phi \vDash \psi) 表示任何满足 (\phi) 的模型也满足 (\psi) 。

命题演算的公理系统如下：
- A1. (A \to (B \to A))
- A2. ((A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C)))
- A3. ((\neg A \to \neg B) \to (B \to A)