38、运动规划不可行性证明的指数收敛与车道级路线规划

运动规划不可行性证明的指数收敛与车道级路线规划

在机器人运动规划领域，解决路径规划问题一直是研究的核心。其中，确定路径是否存在以及如何高效规划路径是两个关键挑战。下面将分别介绍运动规划不可行性证明的指数收敛以及车道级路线规划的相关内容。

运动规划不可行性证明的指数收敛

在运动规划中，当我们尝试为机器人寻找一条从起点到终点的路径时，有时会遇到不存在可行路径的情况。这时，证明路径不可行就变得尤为重要。

渐近完全运动规划

传统的完全运动规划器需要在有限时间内返回一个规划或报告规划不存在。然而，通过学习不可行性证明的方法，虽然随着采样配置数量趋近于无穷大，成功概率趋近于 1，但不能保证在有限时间内得到结果。基于此，提出了渐近完全运动规划的概念。

• 定义 ：一个运动规划器是渐近完全的，如果当采样配置的数量趋近于无穷大时，返回一个规划或正确报告规划不存在的概率收敛到 1。

指数收敛证明

接下来分析收敛速率，证明学习到的流形随着采样配置数量的增加呈指数收敛到不可行性证明。具体来说，当不存在规划时，失败概率 $P_{failure}$ 随着在 $C_{free}$ 中采样的配置数量呈指数下降。

• 定理 2：指数收敛 ：如果不存在运动规划，那么在 $C_{free}$ 中采样 $N$ 个配置后，学习到的流形不是不可行性证明的概率至多为 $Ce^{-\frac{1}{2}Np}$，其中 $C$ 和 $p$ 是常数。
• 证明过程