16、多速率系统入门

多速率系统入门

1. 背景

数字滤波器接收采样输入并产生采样输出，在此过程中，输入信号的时域和/或频域属性会被修改。通常情况下，输入采样率 $f_{in}$ 等于输出采样率 $f_{out}$（即 $f_s = f_{in} = f_{out}$）。当两者不同时，就会产生多速率解决方案。多速率解决方案在广泛的应用中都有出现，例如音频信号处理，其中各种音频子系统以不同的采样率运行（如 40 kHz 与 44.1 kHz）。在其他应用中，多速率技术可用于降低信道带宽和计算要求。

2. 抽取

2.1 抽取定义

如果一个时间序列 $x[k]$ 以采样率 $f_{in}$ 接收，并以速率 $f_{out}$ 输出，且 $f_{in} > f_{out}$，则称该信号被抽取了 $M$ 倍，其中 $M = \frac{f_{out}}{f_{in}}$。如果 $M$ 是整数，那么抽取后的时间序列 $x_d[k]$ 由 $x_d[k] = x[Mk]$ 给出，即只保留原始时间序列的每隔 $M$ 个样本，丢弃其他所有样本。有效采样率从 $f_{in}$ 降低到 $f_d = \frac{f_{in}}{M}$ Sa/s。形式上，被抽取 $M$ 倍的时间序列满足：
[x_d[n] = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x[k] \delta(n - Mk)]
其 $z$ 变换为 $X_d(z) = X(z^M)$。相对于未抽取的原始信号，抽取后信号的频率特征由下式给出：
[X_d(e^{j\varphi}) = X(e^{jM\varphi})]
这是原始信号频谱的频率缩放版本，并且抽取后信号的频谱会在