38、运动规划与车道级路线规划研究

运动规划与车道级路线规划研究

运动规划中的不可行性证明收敛研究

在运动规划领域，判断是否存在可行的运动计划是一个关键问题。传统的完整运动规划器需要在有限时间内返回计划或报告计划不存在，但在某些情况下，这很难实现。因此，提出了渐近完整运动规划的概念。

渐近完整性的定义

当采样的自由配置（$C_{free}$）数量趋近于无穷大时，如果一个运动规划器返回计划或正确报告计划不存在的概率收敛到 1，则称该运动规划器是渐近完整的。

指数收敛证明

为了分析学习到的流形收敛到不可行性证明的速率，证明了在没有可行运动计划的情况下，失败概率 $P_{failure}$ 随着在 $C_{free}$ 中采样的配置数量呈指数下降。
- 定理 2：指数收敛 ：如果不存在运动计划，那么在 $C_{free}$ 中采样 $N$ 个配置后，学习到的流形不是不可行性证明的概率至多为 $Ce^{-\frac{1}{2}Np}$，其中 $C$ 和 $p$ 是常数。
- 证明步骤 ：
1. 使用均匀采样，设采样到区域 $R_i$ 中一个配置的概率为 $p_i$，则 $p_i = \frac{V(R_i)}{V(C_{free})} \geq \frac{V(R_{min})}{V(C_{free})}$，其中 $R_{min}$ 是最小的 $R_i$ 区域。
2. 令 $p = \frac{V(R_{min})}{V(C_{free})}$ 为采样到任何区域 $R_i$ 的概率下限。
3. 在 $C_{free}$ 中采样 $N$ 个配置后，根据二