17、多速率滤波器：原理、应用与设计

多速率滤波器：原理、应用与设计

1. 引言

固定时钟速率滤波器是当今主流的滤波器技术。然而，在某些情况下，当需要满足苛刻的性能指标时，这类滤波器会变得过于复杂。此时，多速率滤波器有时可以缓解这个问题，将复杂度降低到可接受的水平。随着时间的推移，出现了许多多速率滤波器结构，它们在特定应用实例中提供了可行的解决方案。

2. 离散傅里叶变换（DFT）滤波器组

宽带信号通常可以分解为频率受限的子带。均匀 DFT 滤波器组是这一原理的一个有趣应用。DFT 滤波器组的幅度频率响应如图 1 所示，它由一组形状相同的滤波器组成，这些滤波器的中心频率在基带内均匀分布。

M 阶 DFT 滤波器组的第 n 个滤波器 $H_n(z)$ 由低通滤波器 $H_0(z)$（原型滤波器）定义。DFT 滤波器组将原型滤波器的低通频率响应平移到新的中心频率 $f_n = nf_s / M$，即：
[H_n(z)=H_0(W_M^n z)\quad n\in[0,M - 1]]
其中，复指数项 $W_M^n$ 起到调制作用，将原型滤波器的冲激响应 $h_0[k]$ 与 $W_M^{nk}$ 相乘，实现频率平移。在频域中，第 n 个子滤波器的频率响应为 $H_n(e^{j\omega}) = H_0(e^{j(\omega - 2n\pi / M)})$。

假设原型滤波器 $H_0(z)$ 具有多相表示：
[H_0(z)=\sum_{i = 0}^{M - 1}z^{-i}P_i(z^M)]
则：
[H_n(z)=\sum_{i = 0}^{M - 1}W_M^{in}z^{-i}P_i(W_M^n z^M)=\sum_{i