3、运动规划与拓扑复杂度相关研究

运动规划与拓扑复杂度相关研究

在机器人运动规划领域，为实现高效且安全的路径规划，研究者们不断探索新的方法和理论。本文将深入介绍参数化运动规划、离散莫尔斯理论在运动规划中的应用等方面的内容。

1. 参数化运动规划算法基础

在参数化运动规划中，涉及到多种情况的处理和算法设计。

1.1 点的运动变形

对于点的运动，存在特定的变形方式。例如，点通过圆周运动到达 $q(z_j)$，再经过反向仿射投影到达 $z_j$。点 $z_j(t)$ 运动方式类似，但在第二步会沿相反圆周方向运动以避免与 $z_i(t)$ 相遇。对于任意 $t \in I$，配置 $(z_1(t), \ldots, z_n(t), z_1’, \ldots, z_n’, o_1, \ldots, o_m)$ 都位于配置空间 $C$ 中，从而实现了组件 $A_{\sigma,\sigma’‘}$ 在 $C$ 中的变形，最终到达组件 $A_{\sigma’,\sigma’‘}$。

1.2 相邻符号交换情况

当相邻符号 $q(z_i)$ 和 $q(o_j)$ 在两个排序 $\sigma$ 和 $\sigma’$ 中交换时，假设 $q(o_j) < q(z_i)$（相反情况类似）。定义 $\eta = \eta(z_1, \ldots, z_n, z_1’, \ldots, z_n’, o_1, \ldots, o_m) > 0$ 为最大实数，使得开区间 $(q(o_j), q(o_j) - \eta)$ 不包含投影点 $q(z_{\ell})$、$q(z_{\ell}’)$ 和 $q(o_{\ell})$，且以 $o_j$ 为中心、半径为 $\et