2、参数化运动规划与拓扑复杂度

参数化运动规划与拓扑复杂度

1. 基本理论概述

在运动规划领域，参数化运动规划和拓扑复杂度是重要的概念。对于一个纤维化映射 (p : E \to B)，其中 (X) 是其纤维，有如下重要结论：
- 推论 1 ：若存在连续的运动规划算法 (s : E \times_B E \to E^I_B)，则 (p : E \to B) 的纤维 (X) 是可缩的。这是因为 (TC[p : E \to B]) 的消失意味着 (TC(X)) 的消失，而 (TC(X) = 0) 等价于 (X) 可缩。
- 引理 1 ：若局部平凡纤维化 (p : E \to B) 的纤维 (X) 可缩，且基空间 (B) 是仿紧的，则存在全局定义的连续参数化运动规划算法 (s : E \times_B E \to E^I_B)。
- 引理 2 ：若 (p : E \to B) 是平凡丛，则 (TC[p : E \to B] = TC(X))。当 (E = X \times B) 时，(E \times_B E = X \times X \times B) 且 (E^I_B = X^I \times B)。对于 (X \times X) 的子集 (U) 若存在路径纤维化 (X^I \to X \times X) 的连续截面 (s : U \to X^I)，则可定义 (s \times id : U \times B \to X^I \times B = E^I_B) 为 (2) 在 (U \times B) 上的连续截面。

从这些结论可以看出，平凡纤维化的情况下，可将外部条件视为“静止”来构造运动规