推个公式 | 三相永磁同步电机静止坐标系下电压方程推导

最近在看扩展反电动势相关内容，以下这篇文章推导了扩展反电动势下电压方程。我来推导一个前序没用的公式。。之前看文章发现，很多人对平均电感和差分电感也存疑，本文对其进行了详细推导放在结尾。

坐标变换的艺术—PMSM（两相）静止轴系的扩展反电势公式推导_pmsm静止坐标系电机方程推导-优快云博客

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一、引言

在表贴式电机下，电机的直轴电感与交轴电感相等，因此从旋转坐标系变换到静止坐标系时，只有主对角线上包含元素。但在凸极式电机下，仍采用原变换会导致：1. 非对角线上有元素；2. 出现二倍角量。这些不便于后续的角度估算。

来推导一下看看为什么不方便运算。

二、旋转坐标系到静止坐标系——电压方程推导

1、首先，将旋转坐标系下的电压方程重写为，Park变换×静止坐标系下电压、电流的形式：

（这里要注意的是，把微分算子p移到后面，即对变换矩阵和变量求微分，因为现在电感矩阵中不包含变量）

对上述左乘一个park逆矩阵，以下记录对A、B、C三个部分的详细推导过程：

A：

B：

C：

2、然后，把A、B、C 三项相加，可以得到：

 分析：注意此时p这个求导因子不能直接放到前面，因为前面矩阵内含有变量了。如果想把微分算子拿到前面需要用分步求导法，整理后可得：

 （参考文献中提及：如果仅对某个变量求导，则采用 · 在变量上方标注，本文采用 ；如果写做“p”，则对后面所有变量均求导）

其中，

（为平均电感，为差分电感）

结论：推导出来就和最终结果一样啦~

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参考文献：

Zhiqian Chen, M. Tomita, S. Doki and S. Okuma, "An extended electromotive force model for sensorless control of interior permanent-magnet synchronous motors," in IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 50, no. 2, pp. 288-295, April 2003, doi: 10.1109/TIE.2003.809391.

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