题目大意:你有一个序列 a,定义 a 的子序列 b是一个good序列当 b 的每一个元素,能被它在b中所处位置的下标整除,求出 a 所有good 序列的数量。
题解:考虑 a序列 的第 i 个元素 aia_iai,保留 aia_iai 的所有小于等于 i 的因子,设第 j 个小于等于 i 的因子为 g[j]g[j]g[j],尝试构造一个子序列使得aia_iai处于第g[j]g[j]g[j] 个位置,令dp[i−1][j]dp[i - 1][j]dp[i−1][j]表示前 i−1i - 1i−1 个元素构成的长度为 j 的 good 序列的数量,则有转移方程: dp[i][g[j]]=dp[i−1][g[j]]+dp[i−1][g[j]−1]dp[i][g[j]] = dp[i - 1][g[j]] + dp[i - 1][g[j] - 1]dp[i][g[j]]=dp[i−1][g[j]]+dp[i−1][g[j]−1]第一维可以滚动优化,dp必须倒序进行。暴力预处理aaa中每个元素的所有可用因子,将它存在一个容器内,时间复杂度:O(n∗max(a[i]))O(n * \sqrt {max(a[i])})O(n∗max(a[i])),由于n<=105n <= 10^5n<=105,因子数不会超过 3∗253 * 2^53∗25,空间复杂度最大为 10710^7107
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
int n;
int a[maxn];
ll dp[maxn];
vector<int> g[maxn];
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= i && j * j <= a[i]; j++)
if(a[i] % j == 0) {
g[i].push_back(j);
if(a[i] / j != j && a[i] / j <= i) g[i].push_back(a[i] / j);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
sort(g[i].begin(),g[i].end(),greater<int>());
memset(dp,0,sizeof dp);dp[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 0; j < g[i].size(); j++) {
dp[g[i][j]] += dp[g[i][j] - 1];
dp[g[i][j]] %= mod;
}
}
ll ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
ans += dp[i];
ans %= mod;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}