Codeforce 1061 C:Multiplicity(暴力预处理 + dp + 滚动数组)

本文介绍了一种算法,用于解决给定序列a中所有good序列的数量问题。good序列定义为序列b的每一个元素都能被其在序列中的下标整除。通过动态规划和因子预处理,文章提供了一个有效解决方案,时间复杂度为O(n*sqrt(max(a[i]))),适用于序列长度小于等于10^5的情况。

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题目大意:你有一个序列 a,定义 a 的子序列 b是一个good序列当 b 的每一个元素,能被它在b中所处位置的下标整除,求出 a 所有good 序列的数量。

题解:考虑 a序列 的第 i 个元素 aia_iai,保留 aia_iai 的所有小于等于 i 的因子,设第 j 个小于等于 i 的因子为 g[j]g[j]g[j],尝试构造一个子序列使得aia_iai处于第g[j]g[j]g[j] 个位置,令dp[i−1][j]dp[i - 1][j]dp[i1][j]表示前 i−1i - 1i1 个元素构成的长度为 j 的 good 序列的数量,则有转移方程: dp[i][g[j]]=dp[i−1][g[j]]+dp[i−1][g[j]−1]dp[i][g[j]] = dp[i - 1][g[j]] + dp[i - 1][g[j] - 1]dp[i][g[j]]=dp[i1][g[j]]+dp[i1][g[j]1]第一维可以滚动优化,dp必须倒序进行。暴力预处理aaa中每个元素的所有可用因子,将它存在一个容器内,时间复杂度:O(n∗max(a[i]))O(n * \sqrt {max(a[i])})O(nmax(a[i])),由于n&lt;=105n &lt;= 10^5n<=105,因子数不会超过 3∗253 * 2^5325,空间复杂度最大为 10710^7107
代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
int n;
int a[maxn];
ll dp[maxn];
vector<int> g[maxn];
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= i && j * j <= a[i]; j++)
			if(a[i] % j == 0) {
				g[i].push_back(j);
				if(a[i] / j != j && a[i] / j <= i) g[i].push_back(a[i] / j);
			}
	for(int i = 1; i <= n; i++) 
		sort(g[i].begin(),g[i].end(),greater<int>());
	memset(dp,0,sizeof dp);dp[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 0; j < g[i].size(); j++) {
			dp[g[i][j]] += dp[g[i][j] - 1];
			dp[g[i][j]] %= mod;
		}
	}
	ll ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		ans += dp[i];
		ans %= mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}
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