鲁棒控制(Ⅰ)—LMI处理方法

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本文介绍了H∞控制理论的基本概念，包括H∞范数与H2范数的意义，以及如何使用Matlab中的hinflmi和hinfsyn命令设计H∞控制器。通过实例演示了如何计算控制器参数，验证闭环系统的稳定性和性能。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

系统的H∞范数对应于bode图中幅值曲线的峰值，而系统的H2范数则对应于bode图中幅值曲线下方的面积。
H∞范数不超过一个上界，H2范数尽可能小，以保证系统对于不确定性具有鲁棒稳定性，并表现出更好的性能。
在状态反馈情况下，闭环系统的H∞性能并不能通过增加控制器的阶数来加以改进，因此，系统的H∞状态反馈控制器，总是能够选择一个静态控制律。
Matlab中计算Hinf最优控制器命令为：hinfsyn 或者 hinflmi。
连续系统控制器求解举例：

% hinflmi
clear;clc;
A = [0];
B = [1 2];
C = [1;-1];
D = [0 0;1 0];
P = ltisys(A,B,C,D);
% 计算性能指标，和最优控制器K的系统矩阵
[gopt,K] = hinflmi(P,[1,1])
% 计算控制器K的状态空间实现
[Ak,Bk,Ck,Dk] = ltiss(K)
% 如果要求满足Hoo性能gama<10的一个次优Hoo控制器，输入为：
% [g,K] = hinflmi(P,[1,1],10)
% 可以求出满足线性矩阵不等式矩阵X = y1,Y = x1
% [g,k,x1,x2,y1,y2] = hinflmi(P,[1,1],10);

%得到控制器矩阵K之后，计算闭环系统：
clsys = slft(P,K)
% 检测系统闭环稳定性,spol返回系统的闭环极点
spol(clsys)
% 从外部扰动w到被调输出z的闭环系统的RMS增益为：
norminf(clsys)
% 绘制闭环响应曲线
splot(clsys,'bo');
splot(clsys,'st');

% hinfsyn
Gp = ss(A,B,C,D);
[Kp,CL,gamma] = hinfsyn(Gp,1,1);
% CL相当于闭环之后的系统，也可以用下面语句求闭环系统
Gpc = lft(Gp,Kp);
step(CL)
% 闭环系统的奇异值图，以确定最大奇异值不超过gamma
sigma(CL,ss(gamma))
% 限制gamma的范围
ncont = 1; 
nmeas = 1; 
gamRange = [1.4 1.6];
[K,CL,gamma,info] = hinfsyn(Gp,nmeas,ncont,'GMIN',1.4,'GMAX',1.6)
step(CL)
% 如果尝试获得任何控制器都无法达到的性能水平，则会通知目标太小，
% 并返回空控制器和闭环系统。

为以下控制对象设计混合灵敏度控制器
在这里插入图片描述
Hinf控制器设计的关键是构建动态系统模型，系统模型具有以下形式：

如果P是具有不确定或可调控制设计块的广义状态空间模型，则hinfsyn将使用这些元素的标称值或当前值。
H∞控制的一种应用是直接对控制系统的闭环奇异值图进行整形。在此类应用中，可以通过加权函数（环路整形滤波器）来扩充控制对象的输入和输出，这些加权函数表示希望H∞控制器满足的控制目标。控制对象必须是能控和能观的。
默认情况下，hinfsyn会自动想控制对象中添加额外的干扰或者误差，以确保满足对P12,P21的限制，称为正则化。
CL是下面结构的闭环传递函数，也可以由CL = lft(P,K)得到。
在这里插入图片描述

算法：求解下述线性矩阵不等式：
在这里插入图片描述
hinfsyn提供了状态反馈增益和观测器增益，可以使用它们以观测器形式表达控制器。控制器K的观测器形式为：（其中Kx,Kw,Lx,Lu可以有info结构体得到）

% 定义控制对象，权重函数
s = zpk('s');
G = (s-1)/(s+1);
W1 = 0.1*(s+100)/(100*s+1); 
W2 = 0.1; 
W3 = [];
P = augw(G,W1,W2,W3);
% 控制器综合
[K,CL,gamma] = hinfsyn(P,1,1);
gamma
% 检查闭环奇异值
sigma(CL,ss(gamma))