光照和材质——辐射度量学、绘制方程以及BRDF详解

早期的图像学教程中，使用经验模型如lambert漫反射模型以及phong模型表示光照，然而，经验模型并未对物理世界的原理进行准确的表示。因此，我们希望从物理现象和原理的角度出发，详解当今图形学领域的基础知识——光照和材质。由于大多数资料中并没有进行详细准确的推导，导致初学者在这一部分的学习中不能直观理解。因此本文将力求在数学推导过程中做到准确详细。

一、基本几何知识及推导

由于我们要研究三维空间中光线的传播过程，因此我们需要引入三维空间中新的计量单位——立体角（Solid Angle）。
为了深入理解立体角的概念，我们需要重温一下二维平面上有关平面角（弧度Radian）的定义。

1.平面角（弧度）

我们想要表达二维空间中的一个角度$\theta$，使用角度制表示为0度到360度范围的一个角度θ。而使用弧度制则表示为$[0,2\pi]$范围内的一个弧度r，在单位圆中，其对应关系为：$r=\theta\pi/180$。我们可以直观地理解为，弧度对应了单位圆中角度所对应的弧长。
在数学和物理中，弧度是角的度量单位。它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。(即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1)。
而之所以使用单位圆下的弧长表示弧度，是因为在圆心角相等的情况下，圆心角所对弧长l与圆的半径r成正比，即:

$$l=\theta r$$ 因此平面角的微分形式可以表示为 $d\theta=dl/r$
在平面直角坐标系下，我们使用向量(x,y)表示一个固定的方向。而转换为极坐标系下的表示，我们做如下的坐标变换： $$r=\sqrt{x^2+y^2},\theta=arcsin(y/r)$$ 若向量 $(x,y)$为单位向量，则 $r=1,\theta=arcsin(y)$，极坐标下的一个方向仅由θ可以表示。
根据上述弧度和极坐标下的推导，我们考虑二维平面上的一个简单问题：如何求单位圆的周长？
在直角坐标系下，单位圆的方程可以显式写为 $x^2+y^2=1$，根据第一类曲线积分，我们知道求平面上一段弧长l的积分可以转换为定积分的形式： $$dl=\sqrt{1+f'^2(x)}dx,\int_ldl=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^2(x)}dx=2\int_{-1}^{1}\sqrt{1+{x^2}/{1-x^2}}dx=2arcsin(1)-2arcsin(-1)=2\pi$$
由于直角坐标系下需要进行积分微元与积分变量之间的转换，而在极坐标系下并不需要转换，因此 ∫ldl=∫2π0dθ=2π，对于任意半径