《视觉SLAM十四讲》学习系列（2）—三维空间刚体运动

《视觉SLAM十四讲》学习系列（2）—三维空间刚体运动

本文主要内容来自《视觉SLAM十四讲》第三讲-三维空间刚体运动。介绍SLAM中的一个基本问题：刚体在三维空间中的运动如何描述。在书中介绍了四种方法：旋转矩阵、旋转向量、欧拉角和四元数。

基础数学知识

标准正交基

在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基。

反对称矩阵

对于三维空间中的向量$a,b$，外积可用来描述$a$到$b$之间是如何选择的，其中外积的方向即为旋转矩阵的方向。外积也可写成：
$a \times b= \left[\begin{matrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{matrix}\right] b \tag{2}$
将上述过程记为$a$^$b$，其中^为反对称符号。将外积$a \times b$转为$a$^$b$，在运算时即可转为矩阵运算，有利于提高计算机处理效率，类似情况在接下来的部分中还将多次出现。

正交矩阵

正交矩阵即逆为自身转置的矩阵。

旋转矩阵

坐标系间的欧氏变换

相机运动时一个刚体运动，即同一个在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化，这类变换称为欧式变换。这样的欧式变换由一个旋转和一个平移组成。设某个单位正交基$(e_1,e_2,e_3)$经过一次旋转后变成了$(e_1^",e_2^",e_3^")$，同一向量$a$的坐标有以下关系：

$$\left[ e_1,e_2,e_3\right] \begin{bmatrix}a_{1} \\a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix} = \left[e_1^",e_2^",e_3^"\right] \begin{bmatrix}a_{1}^" \\a_{2}^" \\ a_{3}^" \end{bmatrix}$$

左乘$\left[e_1,e_2,e_3\right]^T$后有

⎡⎣⎢⎢eT1e1eT2e1eT3e1eT1e2eT2e2eT3e2eT1e3eT2e3eT3e3⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢eT1e′′1eT2e′′1eT3e′′1eT1e′′2e