归纳法浅析

• 引入：

• 试证明当 $n$ 为正整数时 $\sum_{i=1}^n i^2 = n(n+1)(2n+1)/6$成立

• 证明：

• 当 $n=1$ 时， $\sum_{i=1}^n i^2 = 1 = 1(1+1)(2+1)/6$
• 所以当 $n=1$ 时式子成立
• 当 $n=k$ 时
• $\sum_{i=1}^k i^2 = k(k+1)(2k+1)/6$
• $\sum_{i=1}^k i^2 = (2k^3+3k^2+k)/6$
• $\sum_{i=1}^k i^2+k^2+2k+1 = (2k^3+3k^2+k)/6+k^2+2k+1$
• $\sum_{i=1}^k i^2+(k+1)^2 = (2k^3+9k^2+13k+6)/6$
• $\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6$
• 若 $n=k$ 时式子成立，那么 $n=k+1$ 时式子也成立
• 又因为 $n=1$ 时式子成立
• 所以 $n$ 为正整数时$\sum_{i=1}^n i^2 = n(n+1)(2n+1)/6$成立

• 证毕。

• 总结：

• 1.证明 $p(1)$ 成立
• 2.证明当 $p(k)$ 成立时 $p(k+1)$ 成立
• 3.归纳证明当 $n$ 为正整数时 $p(n)$ 成立