【计算复杂性理论】证明复杂性（四）：相继式演算（Sequent Calculus）

往期文章：

• 【计算复杂性理论】证明复杂性（Proof Complexity）（一）：简介
  
• 【计算复杂性理论】证明复杂性（二）：归结（Resolution）与扩展归结（Extended Resolution）证明系统
• 【计算复杂性理论】证明复杂性（三）：弗雷格（Frege）与扩展弗雷格（Extended Frege）证明系统

一阶逻辑的相继式演算是由根岑^[2]提出来的。我们将会看到其命题逻辑的部分多项式等价于弗雷格系统。不像某些弗雷格系统，相继式演算是非常优雅的，它有优美的、简洁的、对称的推理规则。这种规则的清晰性允许我们对演算中的推导过程进行深度的证明论分析。根岑本人用它对谓词演算和算术理论进行了深入的研究。

根岑的$\mathrm{LK}$证明系统通常指谓词演算，但是我们下面用这个名字指代其命题逻辑的部分。

一、相继式演算$\mathrm{LK}$系统

采用的语言：德·摩根语言
公式序列（cedent）：一个有限的、可能是空的公式系列。不知道怎么翻译cedent，只能先这么翻译了QAQ~
相继式（sequent）：$\mathrm{LK}$证明的每一行是一个相继式。相继式是一个公式序列的有序对$\Gamma ,\Delta$，写作$$\Gamma \to \Delta$$其中$\Gamma$称作前项（antecedent），$\Gamma$称作后项（succedent）。一个赋值满足一个相继式，当且仅当它使前项的某个公式为假，或使后项的某个公式为真。
特别地，一个赋值满足$\to A_1,\cdots ,A_t$当且仅当它满足$\underset{i=1}{\overset{t}{\bigvee }}{A}_i$（$\varnothing$一般写成空字符串）；一个赋值不满足$A_1,\cdots ,A_t\to$，当且仅当它满足$\underset{i=1}{\overset{t}{\bigwedge }}{A}_i$。
注意空相继式，即$\varnothing \to \varnothing$，一般写作$\to$，是不可满足的。这是因为没有前项的公式可以为假，也没有后项的公式可以为真。

按理来说$\to$指的不是蕴含连接词，应该写成\longrightarrow（$⟶$），但是我懒得打那么多字了awa（而且优快云不支持\newcommand555…）

我感觉$A_1,\cdots ,A_t⟶B_1,\cdots ,B_t$就类似于$\underset{i=1}{\overset{t}{\bigwedge }}{A}_i\to \underset{i=1}{\overset{s}{\bigvee }}{B}_i$。

定义1 相继式演算LK系统的推理规则如下：

• 初始相继式（initial sequents）：是具有如下形式的相继式：$p\to p$、$0\to$、$\to 1$（其中$p$是变量）。

• 结构规则（structural rules）：

  • 弱化规则（weakening rules）：左边：$$\begin{gathered} \Gamma \to \Delta \\ \overline{A,\Gamma \to \Delta } \end{gathered}$$右边：$$\begin{gathered} \Gamma \to \Delta \\ \overline{\Gamma \to \Delta ,A} \end{gathered}$$相当于给后项进行了吸取引入，可以类比$P⊢P\vee Q$。
  • 交换规则（exchange rule）：左边：$$\begin{gathered} \underline{{\Gamma }_1,A,B,{\Gamma }_2\to \Delta } \\ {\Gamma }_1,B,A,{\Gamma }_2\to \Delta \end{gathered}$$右边：$$\begin{gathered} \underline{\Gamma \to {\Delta }_1,A,B,{\Delta }_2} \\ \Gamma \to {\Delta }_1,B,A,{\Delta }_2 \end{gathered}$$
  • 收缩规则（contraction rules）：左边：$$\begin{gathered} \underline{{\Gamma }_1,A,A,{\Gamma }_2\to \Delta } \\ {\Gamma }_1,A,{\Gamma }_2\to \Delta \end{gathered}$$右边：$$\underline{}$$