从代数到几何：向量点乘与叉乘的定义、推导及几何意义

斐夷所非

于 2025-05-30 07:38:19 发布

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分类专栏： mathematics 文章标签：向量点乘与叉乘

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向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

-牧野- 于 2016-09-02 20:50:34 发布

一、向量基础概念

向量是由 $n$ 个实数组成的一个 $n$ 行 1 列（ $\times 1$ ）或一个 1 行 $n$ 列（ $\times n$ ）的有序数组。

二、向量点乘（内积、数量积）

2.1 点乘定义

对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

2.2 点乘公式

对于向量 $\mathbf{a} = [a_1, a_2, \dots, a_n]$ 和向量 $\mathbf{b} = [b_1, b_2, \dots, b_n]$ ，
点积公式为：
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$
要求：一维向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的行列数相同。

2.3 点乘几何意义

点乘的几何意义是表征或计算两个向量之间的夹角，以及向量 $\mathbf{b}$ 在向量 $\mathbf{a}$ 方向上的投影。

公式为：
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta$

推导过程

定义向量 $\mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b}$ ，根据三角形余弦定理：
$\mathbf{c}^2 = \mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$
由向量运算 $\mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b}$ ，可得：
$(\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2 - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$
结合上述两式得：
$\mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2 - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$
化简后即得：
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$
向量 $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ 的长度都是可以计算的已知量，从而有 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 间的夹角 $\theta$ ：
利用公式
$\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right)$
可确定向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角 $\theta$ （其中 $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ ）及方向关系：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0$ ：夹角 $0^\circ \leq \theta < 90^\circ$ （或 $\leq \theta < \frac{\pi}{2}$ ），方向具有正相关性；
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ ：夹角 $90^\circ$ （或 $\frac{\pi}{2}$ ），两向量正交（垂直）；
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$ ：夹角 $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ （或 $\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi$ ），方向具有负相关性。

补充说明：如果 $\mathbf{a}$ 或 $\mathbf{b}$ 中至少有一个是零向量，则该公式不适用。通常约定，零向量与任何向量的夹角都是任意的。

三、向量叉乘（外积、向量积）

3.1 叉乘定义

两个向量的叉乘运算结果是一个向量，且该向量与这两个向量组成的坐标平面垂直。

3.2 叉乘公式

对于三维向量 $\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $\mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$ ，
叉乘公式为：
$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2 - y_2z_1)\mathbf{i} - (x_1z_2 - x_2z_1)\mathbf{j} + (x_1y_2 - x_2y_1)\mathbf{k}$
其中， $\mathbf{i} = (1, 0, 0)$ ， $\mathbf{j} = (0, 1, 0)$ ， $\mathbf{k} = (0, 0, 1)$ 为单位向量。

叉乘结果也可表示为坐标形式：
$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (y_1z_2 - y_2z_1, -(x_1z_2 - x_2z_1), x_1y_2 - x_2y_1)$

3.3 叉乘几何意义

三维空间：
叉乘结果是垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成平面的法向量，常用于构建三维坐标系（如 X、Y、Z 轴）。
- 性质： $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ （叉乘结果方向相反）。
二维空间：
叉乘的绝对值等于由向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成的平行四边形的面积，即：
$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \text{平行四边形面积}$

向量叉乘

Sunomg 于 2017-04-19 15:00:02 发布

一、向量叉乘公式及推导

对于三维向量 $\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $\mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$ ，
$\mathbf{i} = (1, 0, 0)$ 、 $\mathbf{j} = (0, 1, 0)$ 、 $\mathbf{k} = (0, 0, 1)$ 为三维空间的标准正交基向量；

叉乘公式通过行列式展开计算：
$\begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} \\[1em] &= \mathbf{i}(y_1 z_2 - y_2 z_1) - \mathbf{j}(x_1 z_2 - x_2 z_1) + \mathbf{k}(x_1 y_2 - x_2 y_1) \\[1em] &= (y_1 z_2 - y_2 z_1, -(x_1 z_2 - x_2 z_1), x_1 y_2 - x_2 y_1) \end{aligned}$

说明：

行列式展开时遵循“对角线法则”，符号由基向量的排列顺序决定（如 $\mathbf{j}$ 分量前带负号）。

在这里插入图片描述

二、向量叉乘的几何意义

三维空间特性
叉乘结果 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 是一个法向量，满足：
- 垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成的平面；
- 方向由右手定则确定：右手四指从 $\mathbf{a}$ 转向 $\mathbf{b}$ （小于 $180^\circ$ 的夹角），拇指方向即为叉乘向量方向。
- 反交换律： $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ （方向相反）。

模长的几何含义
叉乘向量的模长等于以 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形面积：
$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \sin\theta \quad (\theta \text{ 为两向量夹角})$

三、向量叉乘的应用

3.1 三维模型中法向量计算

通过三角面的两条邻边向量（如 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ ）叉乘，可得到垂直于该三角面的法向量，用于光照计算、网格渲染等场景。

3.2 判断向量顺逆关系（二维场景）

设向量 $\mathbf{P} = (x_p, y_p)$ ， $\mathbf{Q} = (x_q, y_q)$ ，计算叉积（二维可视为三维 $z$ 分量为 0 的特例）：
$\mathbf{P} \times \mathbf{Q} = x_p y_q - x_q y_p$

若 $\mathbf{P} \times \mathbf{Q} > 0$ ： $\mathbf{P}$ 在 $\mathbf{Q}$ 的逆时针方向（绕原点）；
若 $\mathbf{P} \times \mathbf{Q} < 0$ ： $\mathbf{P}$ 在 $\mathbf{Q}$ 的顺时针方向；
若 $\mathbf{P} \times \mathbf{Q} = 0$ ： $\mathbf{P}$ 与 $\mathbf{Q}$ 共线。

3.3 凸多边形与凹多边形判断

对多边形的每条边 $\mathbf{e}_i$ 和 $\mathbf{e}_{i+1}$ 构成的向量进行叉积计算：

若所有叉积结果同号（均 > 0 或均 < 0）：多边形为凸多边形；
若存在叉积结果异号：多边形为凹多边形；
若所有叉积结果均为 0：多边形顶点共线（退化为线段）。

3.4 判断点与直线的位置关系

在直线上取两点 $A(x_1, y_1)$ 、 $B(x_2, y_2)$ ，待判断点 $P(x_0, y_0)$ ，构造向量：
$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1), \quad \overrightarrow{AP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1)$
计算叉积：
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} = (x_2 - x_1)(y_0 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_0 - x_1)$

若结果 = 0：点 $P$ 在直线 $A B$ 上；
若结果 > 0：点 $P$ 在直线 $A B$ 的一侧（由叉积符号决定具体方向）；
若结果 < 0：点 $P$ 在直线 $A B$ 的另一侧。

3.5 点与矩形的位置关系判断（需结合坐标范围）

通过叉乘判断点是否在矩形各边的内侧，或直接比较点坐标与矩形边界的范围（更高效）。

说明：

原文中“叉积和”表述易混淆，已修正为“叉积的标量结果”或“叉积分量”；
公式中的排版错误（如 $y_{1} z_{2-}$ ）已修正为标准下标格式 $y_1 z_2 - y_2 z_1$ ；
二维场景下的叉乘可视为三维叉乘在 $z = 0$ 平面的投影，结果的符号反映旋转方向。

向量点乘与叉乘的概念及几何意义

作者：Plane 老师编辑时间：2022-07-08 23:23

一、向量点乘（内积）

1.1 定义与公式

点乘（Dot Product），又称数量积或标量积（Scalar Product），其结果为标量。

代数定义：

对于空间向量 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ ，点乘运算为对应分量乘积之和：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

几何定义：

点乘等于两向量的模长与夹角余弦值的乘积：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$
其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

1.2 几何意义

点乘结果表示 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影与 $|\vec{b}|$ 的乘积，反映两向量的方向相似度。根据结果符号可判断向量关系：

$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ：方向基本相同，夹角 $0^\circ < \theta < 90^\circ$ ；
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ：两向量正交（垂直）；
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ：方向基本相反，夹角 $90^\circ < \theta < 180^\circ$ 。

示意图：
向量点乘几何意义

1.3 代数定义推导几何定义（夹角公式推导）

设定：

向量 $\vec{a}$ 终点为 $A(x_1, y_1, z_1)$ ， $\vec{b}$ 终点为 $B(x_2, y_2, z_2)$ ，原点为 $O$ ；
向量 $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ 。

推导过程：

在 $\triangle OAB$ 中，由余弦定理：
$|\vec{AB}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
代入距离公式 $|\vec{AB}|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ ，展开并整理得：
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = \frac{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - [(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2]}{2}$
去括号化简后：
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = \vec{a} \cdot \vec{b}$
夹角公式：
$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$

二、向量叉乘（外积）

2.1 定义与公式

叉乘（Cross Product），又称向量积（Vector Product），其结果为向量，且与原向量所在平面垂直。

代数定义（三维向量）：
对于向量 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ ，叉乘可通过行列式计算：
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2 - z_1y_2, \ z_1x_2 - x_1z_2, \ x_1y_2 - y_1x_2)$
其中 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 为三维单位正交基向量。

几何定义：
叉乘结果为垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的法向量，其模长与方向满足：
$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \cdot \vec{n}$

$\vec{n}$ 为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面的单位法向量；
方向由右手定则确定：右手四指从 $\vec{a}$ 转向 $\vec{b}$ （夹角 $180^\circ$ ），拇指方向即为叉乘向量方向。

示意图：

向量叉乘方向判定

2.2 几何意义

模长的几何含义：
叉乘向量的模长等于以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形面积：
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$
方向的几何含义：
结果向量是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面的法线向量，常用于三维空间中法向量的计算（如平面方程、光照模型等）。