20、量子态距离度量与量子信道保真度解析

量子态距离度量与量子信道保真度解析

1. 相关推论与引理

在量子理论中，有两个基于定理的重要推论。
- 推论9.3.1 ：设 $\rho, \sigma \in D(H)$，固定 $\varepsilon \in [0, 1]$。若 $\rho$ 与 $\sigma$ 的迹距离满足 $|\rho - \sigma|_1 \leq \varepsilon$，则它们之间的保真度 $F(\rho, \sigma) \geq 1 - \varepsilon$。
- 推论9.3.2 ：设 $\rho, \sigma \in D(H)$，固定 $\varepsilon \in [0, 1]$。若 $\rho$ 与 $\sigma$ 的保真度满足 $F(\rho, \sigma) \geq 1 - \varepsilon$，则它们的迹距离 $|\rho - \sigma|_1 \leq 2\sqrt{\varepsilon}$。

同时还有一个练习题：设 $\rho, \sigma \in D(H)$，证明在区分 $\rho$ 和 $\sigma$ 的量子假设检验中，错误概率 $p_e$ 满足 $p_e \geq \frac{1}{2} \left(1 - \sqrt{1 - F(\rho, \sigma)}\right)$。

2. 温和测量相关引理

量子测量通常会对被测状态产生干扰，但在某些情况下，干扰可以很小，这就是温和测量相关引理所讨论的内容。
- 引理9.4.1（温和测量） ：考虑密度算子 $\rho$ 和测量算子 $\Lambda$