20、量子态距离度量与信道保真度解析

量子态距离度量与信道保真度解析

1. 定理推论

在量子理论中，有两个基于某定理得出的简单推论，它们涉及量子态的迹距离和保真度之间的关系。
- 推论 9.3.1 ：设 $\rho, \sigma \in D(H)$，固定 $\varepsilon \in [0, 1]$。若 $\rho$ 与 $\sigma$ 的迹距离满足 $|\rho - \sigma|_1 \leq \varepsilon$，则它们之间的保真度 $F(\rho, \sigma) \geq 1 - \varepsilon$。
- 推论 9.3.2 ：设 $\rho, \sigma \in D(H)$，固定 $\varepsilon \in [0, 1]$。若 $\rho$ 与 $\sigma$ 的保真度满足 $F(\rho, \sigma) \geq 1 - \varepsilon$，则 $\rho$ 与 $\sigma$ 的迹距离满足 $|\rho - \sigma|_1 \leq 2\sqrt{\varepsilon}$。

此外，还有一个相关练习，要求证明在量子假设检验中区分 $\rho$ 和 $\sigma$ 的错误概率 $p_e$ 的下界为 $p_e \geq \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - F(\rho, \sigma)})$。

2. 温和测量

在量子理论中，测量操作通常会对被测量的量子态产生干扰。但在某些情况下，当某个测量结果出现的概率很高时，测量对量子态的干扰会很小，这就是“温和测量”的概念。

2.1 温和测量引理

考