量子态测量与信道逼近理论分析

1、假设 $H_C$ 上的初始态为 $\sum_{k = 1}^{d} x_k|u_C^k \rangle$。那么，整个系统的初始态为 $\sum_{k,l} \frac{1}{\sqrt{d}} x_k|u_A^l, u_B^l, u_C^k \rangle$。当测量结果为 $(i, j)$ 时，分析该测量的结果态和最终态。

当测量结果为 $(i, j)$ 时，测量的结果态为
$$
\sum_{k} ((X_iZ_j)^T x) k|u_B^k \rangle = (X_i^BZ_j^B)^T \sum {k} x_k|u_B^k \rangle
$$
最终态为
$$
X_i^BZ_j^B(X_i^BZ_j^B)^T \sum_{k} x_k|u_B^k \rangle = \sum_{k} x_k|u_B^k \rangle
$$

2、假设从系统 Hn 到另一个系统 H′n 的任意两个信道 κ1,n 和 κ2,n 满足 maxx 1 −F2((κ1,n ⊗ιR)(|x⟩⟨x|), (κ2,n ⊗ιR)(|x⟩⟨x|)) → 0。证明 | maxρ Ic(ρ, κ1,n) −maxρ Ic(ρ, κ2,n)| / log(dim Hn * dimH′n) → 0。

1. 首先，由已知条件
   $$
   \max_x \ 1 - F^2\left((\kappa_{1,n} \otimes \iota_R)(|x\rangle\langle x|), (\kappa_{2,n} \otimes \iota_R)(|x\rangle\langle x|)\right) \to 0
   $$
   可推出
   $$
   \max_x \ \left|\kappa_{1,n} \otimes \iota_R(|x\rangle\langle x|) - \kappa_{2,n} \otimes \iota_R(|x\rangle\langle x|)\right| 1 \to 0
   $$
   进而得到
   $$
   \ma