11、量子态保真度函数的特性与性质

量子态保真度函数的特性与性质

1. 保真度函数的多种表征

保真度函数有多种不同的表征方式，这些表征有助于我们深入理解保真度函数的性质，下面将介绍几种重要的表征。

1.1 块算子表征

设 (X) 为复欧几里得空间，(P, Q \in Pos(X)) 为半正定算子，有如下定理：
- 定理 3.17 ：(F(P, Q) = \max \left{ \vert Tr(X) \vert : X \in L(X), \begin{pmatrix} P & X \ X^ & Q \end{pmatrix} \in Pos(X \oplus X) \right})。
为证明该定理，需要用到以下引理：
- 引理 3.18 ：设 (X) 和 (Y) 为复欧几里得空间，(P \in Pos(X))，(Q \in Pos(Y)) 为半正定算子，(X \in L(Y, X)) 为算子，则 (\begin{pmatrix} P & X \ X^ & Q \end{pmatrix} \in Pos(X \oplus Y)) 当且仅当 (X = \sqrt{P}K\sqrt{Q})，其中 (K \in L(Y, X)) 满足 (|K| \leq 1)。

证明引理 3.18 ：
- 充分性：若 (X = \sqrt{P}K\sqrt{Q}) 且 (|K| \leq 1)，则 (KK^ \leq 1_X)，可得 (0 \leq \begin{pmatrix} \sqrt{