9、离散小波变换（DWT）原理与实现详解

离散小波变换（DWT）原理与实现详解

1. 小波基础与小波级数

在信号处理领域，小波变换是一种强大的工具。首先，我们来看一个重要的常数定义。常数 (C_{\psi}) 由下式给出：
[C_{\psi} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{|\omega|} d\omega \lt \infty]
这里，(\hat{\psi}(\omega)) 是 (\psi(t)) 的傅里叶变换。从这个式子我们可以发现，只有当 (\hat{\psi}(0) = 0) 时，(C_{\psi}) 才存在。这意味着小波函数的平均值为零，即小波是带通函数。

当方程（4.1）中的尺度和位移参数是离散而非连续时，就可以将函数 (f(t)) 展开为小波级数。具体来说，如果尺度参数取 2 的整数次幂（称为二进制缩放），位移参数取整数值（称为二进平移），那么 (f(t)) 的小波级数可以表示为：
[f(t) = \sum_{k} a(j_0, k) \varphi_{j_0,k}(t) + \sum_{j = j_0}^{\infty} \sum_{k = -\infty}^{\infty} d(j, k) \psi_{j,k}(t)]
需要注意的是，(f(t)) 不需要是周期函数就可以进行小波级数展开。在这个式子中，第一项求和涉及固定尺度 (j_0) 下的基函数 (\varphi_{j_0,k}(t))，这些函数被称为尺度函数，通过对原型函数进行二进制缩放和平移得到：
[\varphi_{j,k}(t) = 2^{j/2} \varphi(2^j t - k), -\infty \lt j, k \lt \