45、离散小波变换（DWT）及多分辨率分解详解

离散小波变换（DWT）及多分辨率分解详解

1. 离散小波变换（DWT）概述

在现实生活中，所产生和分析的信息通常是离散的，以数字形式存在，而非连续函数。因此，在实际应用中，离散小波变换（DWT）比连续小波变换（CWT）更为常用。CWT 是对乘积 (f(t)\psi^*(\frac{t - b}{a})) 进行积分，其中尺度因子 (a) 和时间偏移 (b) 可以是任意实数。而 DWT 的计算涉及卷积，其变换质量很大程度上取决于尺度因子和时间偏移的选择，以及小波的选择。

在实际计算 DWT 时，尺度因子通常取 2 的负幂，时间偏移取 2 的非负幂。所使用的小波会生成正交（或双正交）小波基。小波研究的主要方向之一是寻找能构成正交基的小波族，其中具有紧支撑的小波更受青睐，因为它们允许使用有限脉冲响应（FIR）滤波器进行 DWT 计算。

1.1 DWT 的矩阵表示

可以通过矩阵乘法来描述离散小波变换。以 Haar 变换为例，它依赖于两个滤波器系数 (c_0) 和 (c_1)，值均为 (\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0.7071)，最小的变换矩阵为 (\begin{bmatrix}1 & 1 \ 1 & -1\end{bmatrix}/\sqrt{2})，这是一个 2×2 的矩阵，能生成两个变换系数，分别可看作粗略细节和精细细节。

再看 Daubechies D4 小波，它基于四个滤波器系数 (c_0)、(c_1)、(c_2) 和 (c_3)，其变换矩阵 (W) 如下：
[
W =
\begin{pmatrix}
c_0 & c_1 & c_2 &