20、反稳定分数阶振动系统与随机 p - 枢纽中心问题研究

反稳定分数阶振动系统与随机 p - 枢纽中心问题研究

1. 反稳定弦振动系统的理论基础

在工程物理现象的研究中，弦振动系统是一个重要的研究对象。弦振动系统可以用整数波模型和分数波模型来表示。分数阶微积分在近三十年开始在许多科学分支中发挥重要作用，因为许多工程物理现象使用分数阶微分方程可以更准确和真实地建模。

整数阶弦振动系统可以由以下方程表示：
[
\begin{cases}
u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) \
u(0,t) = 0 \
u_x(0,t) = -au(t) \
u(1,t) = f(t)
\end{cases}
]
其中，(f(t)) 是弦自由端的边界控制力，(u(x,t)) 是弦的位移，(a) 是常数参数。对于不同的 (a) 值，该方程可以模拟不同的弦振动系统。当 (a > 0) 时，系统是反稳定的，因为所有特征值都位于复平面的右侧。

反稳定分数阶波方程是通过将经典波方程中的二阶时间导数项替换为分数阶导数得到的，系统可以表示为：
[
\begin{cases}
\frac{\partial^{\alpha} u(x,t)}{\partial t^{\alpha}} = u_{xx}(x,t) \quad (1 < \alpha < 2) \
u(0,t) = 0 \
u_x(0,t) = -au(t) \
u(1,t) = f(t)
\end{cases}
]
这里采用 Caputo 定义来定义分数阶导数，对于任意函数 (f(t))，Caputo