59、高效NC算法：稀疏k边连通性证书的求解

高效NC算法：稀疏k边连通性证书的求解

在图论和并行计算领域，寻找稀疏k边连通性证书是一个重要的问题。本文将介绍一种高效的NC算法，用于解决该问题，并详细阐述其原理、实现步骤和性能优势。

1. 背景与相关概念

在深入讨论算法之前，我们需要了解一些基本的图论概念。
- 多重图（Multigraph） ：由顶点集$V$、边集$E$和映射函数$\phi_G$组成，其中$\phi_G$将每条边映射到一对不同的顶点。若对于任意多重边$\langle u, v\rangle$，其映射到${u, v}$的边数（即多重性）$\rho_G(\langle u, v\rangle)=1$，则该多重图为简单图。
- 简化图（Simplified Graph） ：通过将多重图中的每条多重边替换为具有相同端点的单条边而得到的简单图，记为$S(G)=(V, E’)$。
- 顶点度（Degree） ：顶点$v$的度记为$d(v)$，图$G$中顶点的最大度和最小度分别记为$\Delta(G)$和$\delta(G)$。
- 顶点覆盖（Vertex Cover） ：若图$G$的每条边至少与集合$S\subseteq V(G)$中的一个顶点相关联，则$S$为图$G$的顶点覆盖。
- 匹配（Matching） ：图$G$的一个子集$M\subseteq E(G)$，若$M$中任意两条边不与同一个顶点相关联，则$M$为图$G$的一个匹配。
- 回路（Circuit）