58、非NP难优化问题的不可近似性与稀疏k边连通性证书的高效NC算法

非NP难优化问题的不可近似性与稀疏k边连通性证书的高效NC算法

非NP难优化问题的不可近似性

相关定理与概念

在优化问题的研究中，有几个重要的问题，如支配集（Dominating Set）、超图顶点覆盖（Hypergraph Vertex Cover）和团（Clique）。对于这些问题，存在如下定理：
- 定理1 ：设π为支配集、超图顶点覆盖和团问题中的任意一个。那么对于某个k ≥ 1，受限优化问题Logkπ在多项式时间内无法以任何常数比率进行近似，除非π能在时间O(2nδ)（其中δ < 1）内以某个常数比率进行近似。
目前，支配集、超图顶点覆盖或团这些NP难优化问题能否在时间O(2nδ)（其中δ < 1）内以某个常数比率进行近似仍是一个开放问题。不过，已有研究表明，除非P = NP，否则它们不存在能达到任何常数比率的多项式时间近似算法。

为了进一步研究这些问题，引入了PCP（Probabilistic Checkable Proofs）协议的概念。
- 定义2 ：一种语言L属于PCP(r, q)类，如果存在一个随机多项式时间验证器V，使得对于每个输入x：
- 由V生成的随机字符串长度为r，并且V探测的证明（见证）中的比特数最多为q。
- 如果x ∈ L，存在一个证明，使得V对于每个生成的随机字符串都接受x。
- 如果x ∉ L，对于任何证明，V对于至少一半生成的随机字符串都拒绝x。
- 命题2（PCP定理） ：NP = PCP(O(log n), O(1))。
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