49、简单多边形中的可见性查询、四叉树分解及射线投射算法

简单多边形中的可见性查询、四叉树分解及射线投射算法

在计算机图形学和计算几何领域，可见性查询、多边形三角剖分以及射线投射是重要的研究方向。本文将介绍一些关于简单多边形可见性查询的优化方法，以及一种新的基于四叉树的多边形分解方法，该方法在射线投射问题中具有良好的性能。

简单多边形的可见性查询

在简单多边形的可见性查询问题中，传统方法可能需要计算每个外部可见性分解，但我们可以采用更高效的方式。具体来说，我们可以计算并存储一个更粗粒度的排列（切割），即外部可见性分解的(1/r)切割。对于给定的查询点q，我们可以检索附近点的可见性多边形，然后从该点走到q来构建V(q)。
通过这种方式，我们可以得到时间 - 空间的权衡，相关定理如下：
- 定理4 ：给定一个简单的n边形，以及m满足n log³ n ≤ m ≤ n² log n，我们可以在O(m log n)时间和O(m)空间内对多边形进行预处理，使得对于查询点q，V(q)可以在O((n²/m) log³ n + |V(q)|)时间内计算得到。

对于线段的弱可见性查询，我们可以沿着线段s从一个端点走到另一个端点，通过拼接s上所有点的可见性多边形，以输出敏感的时间计算其弱可见性。相关定理如下：
- 定理5 ：给定平面上的一个简单n边形P，我们可以在O(n²)空间和O(n² log n)时间内对P进行预处理，使得对于P内的任何线段s，WV(s)可以在O(|WV(s)| log² n)时间内计算得到。

这种解决可见性查询的方法具有一个很好的特性，即可见性多边形由少量规范部分表示，每个部分都以适合搜索的形式存储。利用这一特性，我们可