33、多边形域中的可见性与射线投射查询

多边形域中的可见性与射线投射查询

1. 射线投射查询

射线投射查询旨在找出从给定点发出的射线与障碍物的第一个交点。在进行查询前，需要完成一些预处理工作，包括计算海洋区域 $M$、所有海湾和运河，以及给定凸障碍物集合 $P’$，这些预处理工作需要 $O(n + h \log_{1 + \epsilon} h)$ 的时间。

假设射线 $\sigma(q)$ 从点 $q \in F$ 出发，$q^*$ 是射线 $\sigma(q)$ 与输入障碍物 $P$ 或区域 $R$ 的边界 $\partial R$ 的第一个交点。为简化讨论，假设包含射线 $\sigma(q)$ 的直线不经过任何障碍物顶点，且点 $q$ 可能位于海洋 $M$、海湾或运河中。

• 当 $q \in M$ 时 ：
  • 如果射线 $\sigma(q)$ 在到达 $\partial R$ 之前未与 $P’$ 中的任何障碍物相交，则射线 $\sigma(q)$ 在 $R$ 内的部分完全位于 $M$ 中，此时 $q^*$ 位于 $\partial R$ 上。
  • 若射线 $\sigma(q)$ 与 $P’$ 中的障碍物相交，设第一个交点为 $p$。由于 $P’$ 中障碍物的每条边要么是输入障碍物 $P$ 的边，要么是海湾/运河的门，若 $p$ 不在任何海湾/运河的门上，则 $p$ 位于输入障碍物 $P$ 上，即 $q^ = p$；若 $p$ 位于海湾 $B$ 的门上，由于 $B$ 只有一个门，$q^ $ 必然位于 $B$ 的边界上；若 $p$ 位于运河 $C$ 的门上，根据引理 1 的不透明属性，$q^*$