38、平面图形几何自同构与枚举算法加速新方法

平面图形几何自同构与枚举算法加速新方法

1. 平面图形几何自同构算法

在研究平面图形的几何自同构时，我们会遇到不同连通性的图形，如单连通图和双连通图，针对不同的图形类型有不同的处理方法。

1.1 单连通图的处理

对于单连通图 (G)，我们需要借助双连通图的处理方法作为子程序来寻找其几何自同构。
- 树的中心 ：树的中心是一个顶点，它到叶子节点的最大距离最小。在块 - 割点树中，由于每个叶子都是一个 (B) - 节点，所以只有一个中心，这个中心可能是一个块或者一个割点。
- 割点的标签 ：输入图的每个割点 (u) 有三个标签，这些标签在不同的块中可能不同，具体如下：
- 布尔标签 (u_{B}^{P}) ：当 (u) 是将块 (B) 连接到其在树 (T) 中的父节点的割点时，该标签值为真。
- 同构代码 (u_{B}^{C}) ：这是一个整数集合，其元素数量等于 (u) 在树 (T) 中的子节点数量。如果两个割点 (u) 和 (v) 满足 (u_{B}^{C} = v_{B}^{C})，那么树 (T) 中 (u) 下方子树所代表的子图与 (v) 下方子树所代表的子图是同构的。
- 标签 (u_{B}^{A}) ：该标签指示树 (T) 中 (u) 下方子树所代表的子图是否具有一个轴向平面自同构，该自同构固定将块 (B) 连接到其父节点的割点。如果存在这样的自同构，该标签还会指示该自同构固定的与 (u) 相关联的最大边数。
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