9、组合优化中选择超启发式算法的时间复杂度分析

组合优化中选择超启发式算法的时间复杂度分析

在组合优化领域，超启发式算法为解决复杂问题提供了新的思路。本文将介绍两类具有不同局部最优吸引域的函数，并分析不同算法在这些函数上的性能表现。

1. 小吸引域局部最优的函数（Cliffd类函数）

Cliffd类函数（其中1 < d < n/2）定义如下：
[
Cliff_d(x) :=
\begin{cases}
OneMax(x) & \text{if } |x|_1 \leq n - d \
OneMax(x) - d + \frac{1}{2} & \text{otherwise}
\end{cases}
]

该函数类捕捉了局部最优吸引域较小的现实问题特征。接受向悬崖底部进行恶化移动的算法，可能会沿着第二个斜坡找到全局最优解，即全1的位串。设计这个函数类是为了展示非精英进化算法相对于精英算法的优势。

当悬崖位置离局部最优较远（即参数d值较大）时，精英算法需要进行极大的突变才能找到全局最优解，其行为与著名的Jumpd基准函数类似。传统精英进化算法的期望运行时间会随着悬崖与全局最优的距离呈指数增长。例如，基于突变的进化算法期望运行时间为Θ(nd)，标准稳态遗传算法虽被证明至少快一个线性因子，但对于大d值仍需要指数级的期望运行时间。

传统非精英算法在优化该函数类实例时也面临挑战。例如，(1,λ) EA（生成λ个后代，总是丢弃当前最优解并接受最优后代）需要在第二个斜坡上创建整个种群才能逃离局部最优，这对该算法来说难度较大。如果种群规模太大，算法难以有效逃离局部最优；如果太小，则难以有效爬山到局部最优。Jä