16、点涡驱动被动粒子的控制问题及游戏化的风险

点涡驱动被动粒子的控制问题及游戏化的风险

1. 点涡驱动被动粒子的控制问题

在点涡驱动被动粒子的研究中，涉及到一系列的动力学方程和控制问题。

首先，有一些重要的方程和概念。例如，泊松括号对于两个函数 (f) 和 (g) 的定义为：
({f,g} = \sum_{J=1}^{N} \frac{1}{k_j} \left( \frac{\partial f}{\partial \varphi_j} \frac{\partial g}{\partial \cos(\theta_j)} - \frac{\partial g}{\partial \varphi_j} \frac{\partial f}{\partial \cos(\theta_j)} \right))

标量矩量 (Q)、(P) 和 (S) 定义如下：
(Q = \sum_{J=1}^{N} k_j \sin(\theta_j) \cos(\varphi_j))
(P = \sum_{J=1}^{N} k_j \sin(\theta_j) \sin(\varphi_j))
(S = \sum_{J=1}^{N} k_j \sin(\theta_j))

并且有 ({H,Q} = {H,P} = {H,S} = 0)，这表明它们是不变量，对于控制数值积分的精度非常有用。

被动粒子定义为环流设为零的点涡。一个由 (N) 个点涡带动 (P) 个被动粒子的系统，其动力学由以下方程给出：
(\dot{\theta} p = -\frac{1}{4\pi R^2} \sum {j=1}^{N} k_j \frac{\sin(\t