11、离散时间滤波器：原理、类型与特性解析

离散时间滤波器：原理、类型与特性解析

1. 离散时间信号卷积与相关等式

离散时间信号的处理中，存在如下重要等式：
[X(e^{j\omega}) * Y(e^{j\omega}) = \frac{1}{2\pi}\langle X^*(e^{j(\omega - \sigma)}), Y(e^{j\sigma})\rangle]
[ = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j(\omega - \sigma)})Y(e^{j\sigma})d\sigma]
[ = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\sigma})Y(e^{j(\omega - \sigma)})d\sigma]
这个等式与相关内积定义是一致的，它在后续的离散时间滤波器分析中有着重要的基础作用。

2. 脉冲响应的性质

2.1 FIR 与 IIR 滤波器

线性时不变（LTI）系统可以由其脉冲响应完全描述。脉冲响应是离散时间冲激信号的变换结果，由于冲激信号是无限长信号，所以脉冲响应通常也是无限长序列。脉冲响应中的非零值通常被称为抽头，根据抽头数量的不同，可分为两种滤波器：
- IIR 滤波器 ：抽头数量为无限个。
- FIR 滤波器 ：抽头数量有限，即脉冲响应是有限支撑序列。

对于 FIR 滤波器，如果当 (n < N) 和 (n \geq M) 时，(h[n] = 0)，那么卷积运算可以重写为：
[y[n] = \sum_{k = N}^{M