5、信号处理中的向量空间与希尔伯特空间

信号处理中的向量空间与希尔伯特空间

在信号处理领域，向量空间和希尔伯特空间的概念至关重要。它们为我们理解和处理信号提供了坚实的数学基础。下面将深入探讨这些概念及其相关性质。

1. 线性独立性与基

在向量空间中，线性独立性和基是两个核心概念。例如，在三维空间中，向量 (x(0))、(x(1)) 和 (x(2)) 共面，因此它们不能构成一个基；相反，(x(3)) 与 ({x(0),x(1),x(2)}) 中的任意两个向量是线性独立的。

对于 (N) 维空间，标准正交基有两种重要形式：
- 规范基 ：规范基 ({\delta(k)} {k = 0}^{N - 1}) 定义为 (\delta(k)_n = \delta[n - k] = \begin{cases}1, & \text{if } n = k \ 0, & \text{otherwise}\end{cases})，其正交性显而易见。
- 归一化傅里叶基 ：归一化傅里叶基 ({w(k)} {k = 0}^{N - 1}) 定义为 (w(k)_n = \frac{1}{\sqrt{N}}e^{-j\frac{2\pi}{N}nk})，其正交性将在后续证明。

2. 从向量空间到希尔伯特空间

虽然 (N) 维向量与长度为 (N) 的信号之间的类比很明显，但如何将这些概念推广到无限序列是一个关键问题。直观上，我们可以让 (N) 趋于无穷，得到无限序列的欧几里得空间 (\ell^{\infty})。然而，对于像 (x[n] = 1) 这样简单的序列，一些表达式可