5、向量空间与希尔伯特空间的深入解析

向量空间与希尔伯特空间的深入解析

1. 向量空间基础

在向量空间的研究中，维度是一个重要的概念。对于有限维子空间 (A) 和 (B)，有以下重要结论：
- 子空间的和的维度 ：设 (A = {a_i}) 张成子空间 (A)，(B = {b_j}) 张成子空间 (B)。
- (A \cup B) 张成 (A + B)。因为 (A + B) 中的任意向量都可以表示为 (A) 中向量的线性组合加上 (B) 中向量的线性组合，即 (A \cup B) 中向量的线性组合。
- 若 (A \cap B = {0})，则 (A \cup B) 是 (A + B) 的一组基。假设 (a + b = 0)，其中 (a = \sum_{i = 1}^{m} \alpha_i a_i)，(b = \sum_{j = 1}^{n} \beta_j b_j)，可得 (a = -b \in B)，又 (a \in A)，所以 (a \in A \cap B = {0})，即 (a = 0)，同理 (b = 0)，这表明 (A \cup B) 中的 (m + n) 个向量线性无关，结合前面 (A \cup B) 张成 (A + B)，可知 (A \cup B) 是 (A + B) 的基。
- 若 (A \cap B = {0})，则 (\dim(A + B) = \dim(A) + \dim(B))。因为 (A + B) 的维度等于其基 (A \cup B) 中向量的个数，所以 (\dim(A + B) = m + n = \dim(A) + \dim(B))。

2. 内积空间

内积空间是向量空间的一种特殊类型，具有重要的性质和