24、次二次非自适应阈值分组测试与雪队问题研究

次二次非自适应阈值分组测试与雪队问题研究

次二次非自适应阈值分组测试

在分组测试领域，我们关注非自适应阈值分组测试的相关内容，包括上界、下界以及多阈值情况。

上界分析

通过一系列推导得出，为使 $P (Q$ 不是正确的分组策略$)$ 小于 1，$m$ 需满足 $\Omega(\frac{d}{p(d,t)} \log(\frac{N}{k})) = \Omega(\frac{d^2}{q(d,t)} \log(\frac{N}{k}))$。这里涉及到一些不等式的运用，如 $|F| \leq \frac{N}{d}^2$ 和 $1 - x \leq e^{-x}$。

由此还得到一个推论：对于任意 $t = \Omega(d)$ 且 $t \leq \frac{d}{2}$，存在大小为 $O(d^{3/2} \log \frac{N}{d})$ 的分组设计，可发现任意大小为 $d$ 的阳性集。

下界分析

对于揭示至多 $d$ 个阳性的任何分组测试策略的长度，我们得到了一个下界。

定理表明，对于阈值 $t > 0$，发现至多 $d$ 个阳性的分组策略的大小为 $\Omega(\min{(\frac{d}{t})^2, \frac{N}{t}})$。证明过程中，我们考虑了带阈值的分组策略的一般化情况。设 $Q = Q_1, …, Q_m$ 是 $m$ 个测试的集合，每个测试 $Q_i$ 可能使用不同的阈值 $t_i$。定义 $\varphi(S, N, d)$ 表示存在整数阈值 $t_1, t_2, …, t_k \in [0, t]$ 使得 $t_1 + t_2 + … + t_k \leq