16、非自适应分组测试估计缺陷数量的界限

非自适应分组测试估计缺陷数量的界限

在实际的检测场景中，如疾病筛查、产品质量检测等，我们常常需要通过分组测试的方法来估计缺陷的数量。这涉及到如何设计有效的查询策略，以在满足一定误差概率和竞争比的条件下，尽可能准确地估计出缺陷的数量。本文将深入探讨这个问题，介绍相关的问题定义、概率推理方法，并给出查询数量的对数下界证明。

1. 问题定义

我们首先来看一个抽象的问题，它受到竞争分组测试的启发。

问题1 ：给定正整数 $n$ 和 $L$，正的误差概率 $\epsilon < 1$，以及竞争比 $c > 1$。同时，有一个“不可见”的数 $x \in [1, n]$。搜索者可以向神谕准备 $L$ 个非自适应查询，具体操作如下：
- 每个查询指定一个数 $q \in (0, 1)$。
- 神谕以概率 $qx$ 回答 0，以概率 $1 - qx$ 回答 1。

搜索者需要根据这 $L$ 个二进制答案组成的字符串 $s$ 输出一个数 $x’$，使得对于任意的 $x$，都满足 $Pr[x’ < x] \leq \epsilon$ 和 $E[x’/x] \leq c$。

实际问题就是要安排这 $L$ 个查询，并从 $s$ 中计算出 $x’$，以满足上述要求。优化版本则是在给定其他输入参数的情况下，最小化竞争比 $c$。我们将证明，对于任何固定的 $\epsilon$ 和 $c$，需要 $L = \Omega(\log n)$ 个查询。

在分组测试的背景下，神谕查询代表一个随机池，每个元素以概率 $1 - q$ 被独立选择，而 $x$ 是未知的缺陷数量。为了简化技术问