23、亚二次非自适应阈值分组测试策略解析

亚二次非自适应阈值分组测试策略解析

1. 引言

分组测试问题由 Dorfman 提出，经典版本旨在通过一系列分组测试，从 N 个个体的总体中找出最多 d 个阳性元素。每次测试输出是对“查询集 Q 中是否至少有一个阳性元素”这一问题的回答。通常假设 d 远小于 N，简单的解决方案是对总体中的每个个体单独进行查询，这需要 N 次测试。但由于阳性元素集是稀疏的，我们可以设计一种测试策略，使测试次数在很大程度上取决于稀疏度 d，而非总体大小 N。

分组测试问题有多种变体，主要分为自适应和非自适应策略。自适应策略可根据先前测试结果调整查询集，而非自适应策略则需提前定义查询模式，本文仅考虑非自适应策略。

自提出以来，分组测试及其变体得到了广泛研究，并在许多看似不相关的领域找到应用，如分子生物学、DNA 文库筛选、模式匹配、压缩感知、多址通信、无线电网络和流算法等。

本文考虑的问题推广由 Damaschke 首次提出，即阈值分组测试。在阈值分组测试中，每次测试的输出是对“查询集中是否至少有 t 个阳性元素”这一问题的回答，经典版本对应 t = 1 的情况。此外，我们还将其扩展到多阈值分组测试，测试输出表明测试中的阳性元素数量是否落入预定义的“区间”。

1.1 问题定义

• 总体用集合 [N] = {1, 2, …, N} 表示，个体是该集合中的自然数。我们考虑一个特殊个体集合 P ⊆ [N]，称为阳性元素集。根据问题变体，P 最多包含 d 个元素或恰好包含 d 个元素。
• 单个测试池是要测试的个体子集 Q ⊆ [N]，测试由反馈函数建模，我们考虑两种类型的反馈函数：